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[几何] 椭圆的焦点三角形有关的不等式

本帖最后由 lemondian 于 2018-12-25 14:59 编辑

1.如图,在点$N(-c,0),M(c,0)$分别是椭圆的左,右焦点,AB为过点N的弦。设$R_1,R_2,R$分别为$ \triangle AMN, \triangle BMN, \triangle ABM$的外接圆半径,$e$为椭圆的离心率。求证:$\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}\leqslant \dfrac{1+e^2}{eR}$.
2.如果$r_1,r_2,r$分别为$ \triangle AMN, \triangle BMN, \triangle ABM$的内切圆半径,$e$为椭圆的离心率。则有没有类似的不等式?
无标题.jpg
2018-12-25 14:50
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ABN的外接圆?

PS、三角形代码是 \triangle,不是 \Delta

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回复 2# kuing

不好意思,已修正

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引理:在三角形中,有 `2R\cdot h_a=bc`。
引理的证明1:由面积公式得 `2R=abc/(2S)=abc/(ah_a)=bc/h_a`。
引理的证明2:如下图,显然两直角三角形 `ABD` 和 `AEC` 相似,即得引理。
QQ截图20181225164833.png
2018-12-25 16:52


回到原题,设 `NA=x`, `NB=y`, `\angle ANM=\theta`,如下图:
QQ截图20181225165240.png
2018-12-25 16:52

由正弦定理得
\[\frac1{2R_1}+\frac1{2R_2}=\frac{\sin\theta}{2a-x}+\frac{\sin\theta}{2a-y},\]
由引理得
\[\frac1{2R}=\frac{2c\sin\theta}{(2a-x)(2a-y)},\]
于是原不等式等价于
\[\frac1{2a-x}+\frac1{2a-y}\leqslant\frac{1+e^2}e\cdot\frac{2c}{(2a-x)(2a-y)},\]
去分母即
\[4a-x-y\leqslant\frac{1+e^2}e\cdot2c,\]
也即
\[x+y\geqslant4a-\frac{1+e^2}e\cdot2c=2a-\frac{2c^2}a=\frac{2b^2}a,\]
熟知有结论 `1/x+1/y=2a/b^2`,所以上式等价于
\[x+y\geqslant\frac4{1/x+1/y},\]
显然成立,即得证。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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刚才又笨了,居然用了张角定理,幸好及时发现用引理就简单多了。

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回复 4# kuing


    \[x+y\geqslant4a-\frac{1+e^2}e\cdot2c=2a-\frac{2c^2}a=\frac{2b^2}a,\]

右边简化之后竟然是通径。

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回复 6# isee

哦,我竟然把通径表达式给忘了,完全没想起来,反而想起了1/x+1/y那结论,还是有点儿笨
或者说,我又把焦点弦>=通径给证了一遍……

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谢谢两位!
原来还可得到通径,好久不用这个东东了

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至于你说改为内切圆的,那就更简单了,直接有等式
\[r_1+r_2=\frac{2r}{1+e}.\]
证明自己写。

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本帖最后由 mowxqq 于 2018-12-30 22:04 编辑

以$N$点为极点,$x$轴正方向为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为
\[\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}\]
令$\angle ANM=\theta(0<\theta<\pi)$,则$AN=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta},BN=\dfrac{ep}{1+e\cos\theta},AB=\dfrac{2ep}{1-e^2\cos^2\theta}$,
所以
\[\dfrac{R}{R_1}+\dfrac{R}{R_2}=\dfrac{BM}{2c}+\dfrac{AM}{2c}=\dfrac{4a-AB}{2c}\]

\[\dfrac{R}{R_1}+\dfrac{R}{R_2}=\dfrac{2a-\dfrac{ab^2}{a^2-c^2\cos^2\theta}}{c}\in\left(\dfrac{1}{e},\dfrac{1}{e}+e\right]\]

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回复 10# mowxqq

nice

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