本帖最后由 isee 于 2018-11-23 20:39 编辑
题:如图,$n$个点$P_i(x_i,y_i),i=1,2,\cdots,n,n\geqslant 2$在函数$y=1/x$的图象上,$\triangle P_1OA_1$,$\triangle P_2A_1A_2$,$\cdots$,$\triangle P_nA_{n-1}A_n$都是直角三角形,斜边$OA_1$,$A_1A_2$,$\cdots$,$A_{n-1}A_n$都在$x$轴上.
则点$P_n$的坐标是多少?
解:
由等腰Rt$\triangle P_1OA_1$的直角顶点$P_1$在$y=1/x$的图象上,有$P_1(1,1)$,
即$$x_1=1,y_1=1.$$
下面考察相邻两点$P_{n-1}$,$P_n$的坐标.
由两等腰直角$\triangle P_{n-1}A_{n-2}A_{n-1}$,$\triangle P_nA_{n-1}A_n$,可由点$A_{n-1}$的横坐标得递推式$$x_{n-1}+y_{n-1}=x_n-y_n,$$
又$y_i=1/x_i$代入,即$$x_{n-1}+\frac 1{x_{n-1}}=x_n-\frac 1{x_n},$$
两边平方,整理得$$\left(x_{n-1}+\frac 1{x_{n-1}}\right)^2=\left(x_n+\frac 1{x_n}\right)^2-4,$$
这表明$\left\{\left(x_n+1/x_n\right)^2\right\}$是首项为$(x_1+1/x_1)^2=4$,公差为4的等差数列,于是$$\left(x_n+\frac 1{x_n}\right)^2=4+(n-1)\cdot 4=4n,$$
即$$x_n+\frac 1{x_n}=2\sqrt n,$$
又$x_n>x_1=1,n\geqslant 2$,求得$$x_n=\sqrt n+\sqrt {n-1}.$$
于是$P_n\left(\sqrt n+\sqrt {n-1},\sqrt n-\sqrt {n-1}\right).$
PS:冬至版,kuing 的撸题集,870页,题目 6.5.32,就是这个,kuing说的。 |