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[几何] 求第$n$个点的坐标

本帖最后由 isee 于 2018-11-23 20:39 编辑

题:如图,$n$个点$P_i(x_i,y_i),i=1,2,\cdots,n,n\geqslant 2$在函数$y=1/x$的图象上,$\triangle P_1OA_1$,$\triangle P_2A_1A_2$,$\cdots$,$\triangle P_nA_{n-1}A_n$都是直角三角形,斜边$OA_1$,$A_1A_2$,$\cdots$,$A_{n-1}A_n$都在$x$轴上.
     则点$P_n$的坐标是多少?

cdt.png
2018-11-23 20:35



解:
    由等腰Rt$\triangle P_1OA_1$的直角顶点$P_1$在$y=1/x$的图象上,有$P_1(1,1)$,
        即$$x_1=1,y_1=1.$$
       
        下面考察相邻两点$P_{n-1}$,$P_n$的坐标.  
       
        由两等腰直角$\triangle P_{n-1}A_{n-2}A_{n-1}$,$\triangle P_nA_{n-1}A_n$,可由点$A_{n-1}$的横坐标得递推式$$x_{n-1}+y_{n-1}=x_n-y_n,$$
        又$y_i=1/x_i$代入,即$$x_{n-1}+\frac 1{x_{n-1}}=x_n-\frac 1{x_n},$$
        两边平方,整理得$$\left(x_{n-1}+\frac 1{x_{n-1}}\right)^2=\left(x_n+\frac 1{x_n}\right)^2-4,$$
       
        这表明$\left\{\left(x_n+1/x_n\right)^2\right\}$是首项为$(x_1+1/x_1)^2=4$,公差为4的等差数列,于是$$\left(x_n+\frac 1{x_n}\right)^2=4+(n-1)\cdot 4=4n,$$
        即$$x_n+\frac 1{x_n}=2\sqrt n,$$
        又$x_n>x_1=1,n\geqslant 2$,求得$$x_n=\sqrt n+\sqrt {n-1}.$$
       
        于是$P_n\left(\sqrt n+\sqrt {n-1},\sqrt n-\sqrt {n-1}\right).$



PS:冬至版,kuing 的撸题集,870页,题目 6.5.32,就是这个,kuing说的。
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也好,知道了那题的来源

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回复 2# 色k

其实我最初例的式子不是这样,只是后来发现这样可以平方变成对称式,可解。

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哦,今天是11月23,1,1,2,3正好也是经典递推的前4项。。斐波那契数列

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-6-19 14:37 编辑

回复 1# isee

【Anning定理】
将曲线换成抛物线、等腰直角三角形换成等边三角形便得到Anning定理
在一条直线\(l\)上依次取点\(A_1\)、\(A_2\)、……、\(A_n\)、\(A_{n+1}\),使得线段长度\(|A_1A_2|=1\)、\(|A_2A_3|=2\)、……、\(|A_nA_{n+1}|=2n+1\),
并在该直线\(l\)的一侧作正三角形\(\triangle A_1A_2P_1\)、正三角形\(\triangle A_2A_3P_2\)、……、正三角形\(\triangle A_nA_{n+1}P_n\);
存在一条抛物线使得\(P_1\)、\(P_2\)、……、\(P_n\)、\(P_{n+1}\)在抛物线上,且它们到焦点的距离均为整数。
《数学名题词典》单墫 江苏教育出版社
P755

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回复 5# 青青子衿


    还有这样的定理。。还是单墫主编的。。

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