本帖最后由 isee 于 2018-11-20 18:05 编辑
回复 1# 游客
题：$\triangle ABC$是边长为 2 的正三角形，点$B$在$x$轴正半轴上，点$C$在$y$轴正半轴上，点$A$在第一象限内，点$M$为边$AB$的中点，则$\vv{OA}\cdot \vv{OM}$的最大值为______.
硬扯下背景的话，点$A$的轨迹是椭圆，于是在本题的坐标系下是比较复杂的（运算量）。
记点$C(0,c),B(b,0)$，则$$\vv{CA}=\vv{CB}\cdot \left(\cos \frac \pi3+\mathrm i\sin\frac \pi3\right)=\frac 12b+\frac{\sqrt 3}2c+\left(\frac{\sqrt 3}2b-\frac 12c\right)\mathrm i.$$
进一步$$\vv{OA}=\vv{OC}+\vv{CA}=\frac 12b+\frac{\sqrt 3}2c+\left(\frac{\sqrt 3}2b+\frac 12c\right)\mathrm i.$$
$$\vv{OM}=\frac 12(\vv{OA}+\vv{OB})=\frac 34b+\frac{\sqrt 3}4c+\left(\frac{\sqrt 3}4b+\frac 14c\right)\mathrm i.$$
所以$$\vv{OA}\cdot \vv{OM}=\frac 34b^2+\frac{3\sqrt 3}4bc+\frac 12c^2.$$
又$$b^2+c^2=4\Rightarrow b=2\cos\theta>0,c=2\sin\theta>0.$$
于是$$\vv{OA}\cdot \vv{OM}=\frac{3\sqrt{3}}3\sin 2\theta-\frac 12\cos 2\theta+\frac 52=\sqrt 7\sin(\theta+\varphi)+\frac 52,\tan \varphi=-\frac{\sqrt 3}9.$$ |
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
发表于 2018-11-18 16:06
| 
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友