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求双曲抛物面上的直母线

本帖最后由 青青子衿 于 2018-10-27 20:20 编辑

求在(等轴)双曲抛物面\(\,x^2-y^2=2z\,\)上,且过点\(P(3,1,4)\)的两条直线(其被称为直母线)
  1. Show[ParametricPlot3D[{1/2 (u + v), 1/2 (u - v), 1/2 u v}, {u, -5, 5}, {v, -5, 5}],
  2. ParametricPlot3D[{t + 3, t + 1, 2 t + 4}, {t, -5, 5}],
  3. ParametricPlot3D[{t + 3, -t + 1, 4 t + 4}, {t, -5, 5}]]
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要求就求个一般情况吧,空间解析几何我不熟悉,也不知道有没有更快的方法,只想到了以下的方法。

设双曲抛物面为
\[z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},\]
其上有一点 `P(x_0,y_0,z_0)`,令 `x=x_0+lt`, `y=y_0+mt`, `z=z_0+nt`,代入方程中化简得
\[\left(\frac{l^2}{a^2}-\frac{m^2}{b^2}\right)t^2+\left(\frac{2lx_0}{a^2}-\frac{2my_0}{b^2}-n\right)t=0,\]

\[\frac{l^2}{a^2}-\frac{m^2}{b^2}=\frac{2lx_0}{a^2}-\frac{2my_0}{b^2}-n=0,\]
得到
\[l:m:n=a:b:2\left(\frac{x_0}a-\frac{y_0}b\right)~\text{或}~a:-b:2\left(\frac{x_0}a+\frac{y_0}b\right),\]
由此可见,以下两条直线
\[
\led
x&=x_0+at,\\
y&=y_0+bt,\\
z&=z_0+2\left(\frac{x_0}a-\frac{y_0}b\right)t,
\endled\quad\led
x&=x_0+at,\\
y&=y_0-bt,\\
z&=z_0+2\left(\frac{x_0}a+\frac{y_0}b\right)t,
\endled
\quad\text{($t$ 为参数)}\]
都在双曲抛物面上。

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看了一下书上证明单叶双曲面为直纹面的方法,这里应该也可以这样做。

将双曲抛物面写为
\[\left( \frac xa-\frac yb \right)\left( \frac xa+\frac yb \right)=z,\]
那么,对于任意实数 `\lambda`, `\mu`,以下两条直线
\[\led
\frac xa-\frac yb&=\lambda,\\
\lambda\left(\frac xa+\frac yb\right)&=z,
\endled\quad\led
\mu\left(\frac xa-\frac yb\right)&=z,\\
\frac xa+\frac yb&=\mu,
\endled\]
均在双曲抛物面上,于是,若 `P(x_0,y_0,z_0)` 在双曲抛物面上,则过 `P` 的两条直母线就是
\[\led
\frac xa-\frac yb&=\frac{x_0}a-\frac{y_0}b,\\
\left(\frac{x_0}a-\frac{y_0}b\right)\left(\frac xa+\frac yb\right)&=z,
\endled\quad\led
\left(\frac{x_0}a+\frac{y_0}b\right)\left(\frac xa-\frac yb\right)&=z,\\
\frac xa+\frac yb&=\frac{x_0}a+\frac{y_0}b,
\endled\]
利用 `z_0=(x_0/a-y_0/b)(x_0/a+y_0/b)` 还可将上式写成
\[\led
\frac xa-\frac yb&=\frac{x_0}a-\frac{y_0}b,\\
\left( \frac xa+\frac yb \right)z_0&=\left( \frac{x_0}a+\frac{y_0}b \right)z,
\endled\quad\led
\left( \frac xa-\frac yb \right)z_0&=\left( \frac{x_0}a-\frac{y_0}b \right)z,\\
\frac xa+\frac yb&=\frac{x_0}a+\frac{y_0}b.
\endled\]
多漂亮的结果。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-10-28 13:05 编辑
设双曲抛物面 \[z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},\]
...
kuing 发表于 2018-10-27 21:42

回复 2# kuing
谢谢kk,但是好像大部分介绍“双曲抛物面”的书中都是将它的标准方程记作“\(2z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\)”,可能这样规定有同样的效果吧,如同规定平面直角坐标系下抛物线标准方程为“\(y^2=2px\)”


\(\overline{\hspace{15cm}}\)
\[\frac{l^2}{a^2}-\frac{m^2}{b^2}=\frac{2lx_0}{a^2}-\frac{2my_0}{b^2}-n=0,\]
\[

\left\{\begin{array}{r}
\begin{split}
\displaystyle\frac{l}{a}&=\frac{m}{b}\\
\displaystyle\frac{2x_0}{a}\frac{l}{a}-\frac{2y_0}{b}\frac{m}{b}&=n\\
\end{split}
\end{array}\right.
\quad \text{or}\quad
\left\{\begin{array}{r}
\begin{split}
\frac{l}{a}&=-\frac{m}{b}\\
\frac{2x_0}{a}\frac{l}{a}-\frac{2y_0}{b}\frac{m}{b}&=n\\
\end{split}
\end{array}\right.\\
\Rightarrow
\left\{\begin{array}{r}
\begin{split}
\frac{l}{a}&=\frac{m}{b}\\
\left(\frac{2x_0}{a}-\frac{2y_0}{b}\right)\frac{l}{a}&=n\\
\end{split}
\end{array}\right.
\quad \text{or}\quad
\left\{\begin{array}{r}
\begin{split}
\frac{l}{a}&=-\frac{m}{b}\\
\left(\frac{2x_0}{a}+\frac{2y_0}{b}\right)\frac{l}{a}&=n\\
\end{split}
\end{array}\right.\\
\Rightarrow
\left\{\begin{array}{r}
\begin{split}
\frac{l}{a}&=\frac{m}{b}\\
\frac{l}{a}&=\dfrac{n}{\left(\frac{2x_0}{a}-\frac{2y_0}{b}\right)}\\
\end{split}
\end{array}\right.
\quad \text{or}\quad
\left\{\begin{array}{r}
\begin{split}
\frac{l}{a}&=-\frac{m}{b}\\
\frac{l}{a}&=\dfrac{n}{\left(\frac{2x_0}{a}+\frac{2y_0}{b}\right)}\\
\end{split}
\end{array}\right.
\]

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回复 4# 青青子衿

嗯,的确,如果原方程有个2,那么2#后面的表达式少个2,确实会好看一些。
PS、我修改了一下2#,不要分母,原点也适用了。

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