至于右边,也就是
\[e^x+e^{-x}\leqslant 2(1-x^2)+(e+e^{-1})x^2,\quad x\in [-1,1].\]
所以其实这题的三角函数纯粹是吓人嘀,因为它唯一的作用就是为右边提供 `[-1,1]` 的范围而已。
证明也很简单,就是不断求导判断单调性就是了,由于两边均为偶函数,只需考虑 `x\in[0,1]` 即可,令
\[f(x)=2(1-x^2)+(e+e^{-1})x^2-e^x-e^{-x},\quad x\in [0,1],\]
则 `f'''(x)=e^{-x}-e^x<0`,故 `f''(x)\searrow`,而 `f''(0)=2(e+e^{-1})-6>0`, `f''(1)=e+e^{-1}-4<0`,故 `f''(x)` 先正后负,即 `f'(x)\nearrow \searrow `,而 `f'(0)=0`, `f'(1)=(3-e)(1-e)/e<0`,故 `f'(x)` 先正后负,即 `f(x)\nearrow \searrow `,而 `f(0)=f(1)=0`,所以当 `x\in[0,1]` 时恒有 `f(x)\geqslant0`,得证。 |