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[不等式] 网友问的三元不等式 sum1/(a^2+bc)>=12/(a+b+c)^2

长风大侠  2018-10-22 10:40
QQ截图20181022141208.jpg
2018-10-22 14:15

感觉似曾相识,但查了撸题集和论坛都没查到,不过这都不要紧,要紧的是这不等式看似不难,我却想来想去都想不出简单的证法,只想出难看的:

不妨设 `a=\min\{a,b,c\}`,先证明
\[\frac1{b^2+ca}+\frac1{c^2+ab}\geqslant\frac4{\frac34(b+c)^2+a(b+c)-bc}, \quad(*)\]
将上式去分母因式分解再配方后,等价于
\[(b-c)^2\bigl((b+c-2a)^2+2(b-c)^2+10bc-5ab-5ac\bigr)\geqslant0,\]
显然成立,于是,令 `b+c=t`,由式 (*) 及柯西,有
\[\sum\frac1{a^2+bc}\geqslant\frac1{a^2+bc}+\frac4{\frac34t^2+at-bc}\geqslant\frac9{a^2+\frac34t^2+at},\]
那么要证原不等式只需证
\[9(a+t)^2\geqslant12\left( a^2+\frac34t^2+at \right),\]
化简即 `3a(2t-a)\geqslant0`,由于 `t\geqslant2a`,所以不等式得证。

注:取等条件为 `a=0` 且 `b=c` 及其轮换,所以依照原题的正数条件是取不了等的。
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冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

网友给我发了某网友的一个证明,我才想起在计爷的书上看过这个:
QQ截图20181022151753.jpg
2018-10-22 15:18
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口号:珍爱生命,远离考试。

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这样看来,感觉这个就只是个课后习题。。。。

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确实见过, 在 Vasc 的书中见过原题. 证明并不简单.

01.png
2018-10-23 11:49

02.png
2018-10-23 11:49

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