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[不等式] 2013卓越联盟自主招生试题

设$x>0,$
$(1)$证明:$e^{x}>1+x+\dfrac{1}{2}x^2;$
$(2)$证明:$e^{x}=1+x+\dfrac{1}{2}x^2e^y,$证明:$0<x<y.$
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不好意思,打错了,第2问要证得是$0<y<x$

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本帖最后由 isee 于 2013-10-29 23:26 编辑

第一问,若用$y=e^x$在$x=0$处的Tayloy公式直接秒了

不这,这些东东忘记得差不多了,还是等懂来解决

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回复 3# isee

不用 taylor 也行,求两次导即可。

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第二问直接解出
\[y=\ln\bigl(2(e^x-1-x)\bigr)-2\ln x,\]

\[x-y=x+2\ln x-\ln\bigl(2(e^x-1-x)\bigr)=f(x),\]
求导得
\[f'(x)=\frac{2e^x-2-2x-x^2}{x(e^x-1-x)},\]
正好由第一问得……略

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回复 5# kuing

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本帖最后由 战巡 于 2013-10-30 01:02 编辑

回复 3# isee


第二问泰勒一样秒啊.......
\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi)x^2}{2},\xi\in(0,x)\]

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回复 7# 战巡


PS、代码是 \xi

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这题也作自招题?那么简单有神马好玩啊…
第一问:令$f(x)=\dfrac{1+x+\dfrac{1}{2}x^2}{e^x},x>0$
第二问:令$g(x)=\dfrac{(1-\dfrac{1}{2}x^2)e^x}{1+x},x>0$
睡自己的觉,让别人说去!!!

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都很妙!

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2013年广东理数,最后一题与第一问最后化简后,差不多
http://kkkkuingggg.haotui.com/thread-1638-1-1.html

也是偶 和 睡神 一样,也是用的商,比较方便

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blog图片博客.jpg
2013-10-31 23:10
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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\[{e^x} > 1\]
\[\int\limits_0^x {{e^x}{\text{d}}x}  > \int\limits_0^x {{\text{d}}x} \]
\[{e^x} - 1 > x\]
\[{e^x} > 1 + x\]
\[\int\limits_0^x {{e^x}{\text{d}}x}  > \int\limits_0^x {\left( {1 + x} \right){\text{d}}x} \]
\[{e^x} - 1 > x + \frac{{{x^2}}}{2}\]
\[{e^x} > 1 + x + \frac{{{x^2}}}{2}\]

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回复 13# icesheep
反其道而行之!

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回复 13# icesheep


噗...积分变量和上下限变量一样......经典错误啊....

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回复  icesheep


噗...积分变量和上下限变量一样......经典错误啊....
战巡 发表于 2013-11-1 01:23



    换个变量这种事自行脑补。。。

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