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[不等式] 求助:线性和式的范围

本帖最后由 敬畏数学 于 2018-9-27 09:51 编辑

a,b均为正数,$2a+2b\leqslant 15,\frac{3}{b}+\frac{4}{a}\leqslant 2$,则3a+4b的取值范围
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本帖最后由 力工 于 2018-9-27 11:09 编辑

回复 1# 敬畏数学
数学规划问题。您肯定想如何用不等式解决吧。

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最小值$f(3,4)=24$,最大值$f(3,9/2)=27$

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回复 3# 力工
没有限制。把过程写下。谢谢!

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一方面\[3a+4b=\frac{12}{4/a}+\frac{12}{3/b}\geqslant\frac{12(1+1)^2}{4/a+3/b}\geqslant\frac{12(1+1)^2}2=24,\]当 `a=4`, `b=3` 取等;另一方面,由条件有\[2\geqslant\frac3b+\frac4a\geqslant\frac6{15-2a}+\frac4a,\]解得 `3\leqslant a\leqslant5`,故\[3a+4b=4a+4b-a\leqslant30-3=27,\]当 `a=3`, `b=9/2` 取等。

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谢谢以上两位高手相助!似乎用几何法俗称“线性规划”来得更易理解一点。3#有个笔误:最小值24,当a=4,b=3取得(即直线3a+4b=t与双曲线3a+4b=2ab相切时).最大值为27当a=3,b=9/2取得(即直线3a+4b=t过2a+2b=15与双曲线3a+4b=2ab的交点).

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回复 6# 敬畏数学

画图是最自然的,老实讲,我也是根据图形来用不等式的,所以5#可以算是装逼解法。
比如说,由图知和双曲线相切时最小,那就和另外那条直线无关,也就是相当于已知 3/b+4/a<=2 求 3a+4b 最小,于是柯西一定可行,可放心使用。
至于最大值方面懒得啰嗦了自己想。

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回复 7# kuing
这就是 数形结合 的妙处(“形”得出思路,“数”写出过程)。
而且,解答书写不一定要按照最开始的思路写下去(这里有一个怪现象,如果不按照原始的思路写下去,就会认为是装逼,因为他们觉得书写不能隐藏思路,需要写的自然一些),在大学教材的定理证明就很简洁(隐藏了思路的发现过程),按照他们的要求的话,还需要把定理的发现过程也写出来才更自然,否则就是冰冷的美丽(俗称装逼

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本帖最后由 游客 于 2018-9-29 09:56 编辑

未命名.PNG
2018-9-29 08:51


未命名.PNG
2018-9-29 09:52


装逼是绝对隐藏了什么必需的东西,但隐藏的东西若不是必需的,就不算装逼。

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装逼也是一种本事
有些人就是想装也装不出来了,例如我

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