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一道椭圆弧长差问题的定积分解法

本帖最后由 青青子衿 于 2018-9-4 22:24 编辑

\[\int_0^{\frac{2}{3}\sqrt{6}}\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}{\rm d}x-\int_{\frac{2}{3}\sqrt{6}}^2\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}{\rm d}x=1\]
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本帖最后由 青青子衿 于 2018-9-4 23:36 编辑
\[\int_0^{\frac{2}{3}\sqrt{6}}\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}{\rm d}x-\int_{\frac{2}{3}\sqrt{6}}^2\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}{\rm d}x=1\] ...
青青子衿 发表于 2018-9-4 22:21

\[I:=\int_0^{\frac{2}{3}\sqrt{6}}\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}{\rm d}x, \ \ \ J:=\int_{\frac{2}{3}\sqrt{6}}^2\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}{\rm d}x.\]
\begin{align*}
x\colon\,\int_0^{\frac{2}{3}\sqrt{6}}&\xrightarrow[]{\quad x\,=\frac{2\sqrt{6}}{3}t\quad}t\colon\,\int_0^1\\
\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}&\xrightarrow[]{\quad x\,=\frac{2\sqrt{6}}{3}t\quad }\frac{\sqrt{6}}{2}\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}\\
{\rm d}x&\xrightarrow[]{\quad x\,=\frac{2\sqrt{6}}{3}t\quad }\frac{2\sqrt{6}}{3}{\rm d}t\\
\end{align*}
\[I:=\int_0^{\frac{2}{3}\sqrt{6}}\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}{\rm d}x\quad\overset{x\,=\frac{2\sqrt{6}}{3}t}{\overline{\overline{\hspace{2cm}}}}\quad2\int_0^1\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}{\rm d}t\]
\begin{align*}
\frac{16-4x^2}{16-3x^2}=\frac{2}{3}t^2&\Longleftrightarrow x^2\,=\frac{8}{3}\left(\frac{3-2t^2}{2-t^2}\right)\\
x\colon\,\int_{\frac{2}{3}\sqrt{6}}^2&\xrightarrow[]{\quad x\,=\frac{2\sqrt{6}}{3}\sqrt{\frac{3-2t^2}{2-t^2}}\quad }t\colon\int_1^0\\
\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}&\xrightarrow[]{\quad\sqrt{\frac{16-4x^2}{16-3x^2}}=\frac{\sqrt6}{3}t\quad }\frac{3}{\sqrt6}\cdot\frac{1}{t}\\
{\rm d}x&\xrightarrow[]{\quad x\,=\frac{2\sqrt{6}}{3}\sqrt{\frac{3-2t^2}{2-t^2}}\quad }\frac{2\sqrt{6}}{3}\cdot\frac{-t}{(2-t^2)^2}\cdot\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}{\rm d}t\\
\end{align*}
\[J:=\int_{\frac{2}{3}\sqrt{6}}^2\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}{\rm d}x\quad\overset{x\,=\frac{2\sqrt{6}}{3}\sqrt{\frac{3-2t^2}{2-t^2}}}{\overline{\overline{\hspace{2cm}}}}\quad2\int_0^1\frac{1}{(2-t^2)^2}\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}{\rm d}t\]

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-9-5 10:23 编辑
\[I:=\int_0^{\frac{2}{3}\sqrt{6}}\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}{\rm d}x\quad\overset{x\,=\frac{2\sqrt{6}}{3}t}{\overline{\overline{\hspace{2cm}}}}\quad2\int_0^1\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}{\rm d}t\]
\[J:=\int_{\frac{2}{3}\sqrt{6}}^2\sqrt{\frac{16-3x^2}{16-4x^2}}{\rm d}x\quad\overset{x\,=\frac{2\sqrt{6}}{3}\sqrt{\frac{3-2t^2}{2-t^2}}}{\overline{\overline{\hspace{2cm}}}}\quad2\int_0^1\frac{1}{(2-t^2)^2}\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}{\rm d}t\]
...
青青子衿 发表于 2018-9-4 22:23

\[I-J=\int_0^1\left(2-\frac{2}{(2-t^2)^2}\right)\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}{\rm d}t. \ \ \ \ \ \ \ \ (*)\]
\begin{align*}
\left(2-\frac{2}{(2-t^2)^2}\right)\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}&=\frac{6-8t^2+2t^4}{(2-t^2)^2}\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}\\
&=\frac{(2-t^2)(3-2t^2)-t^2}{(2-t^2)^2}\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}\\
&=\sqrt{\frac{3-2t^2}{2-t^2}}+t \cdot \frac{-t}{(2-t^2)^2}\sqrt{\frac{2-t^2}{3-2t^2}}\\
&=\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(t \sqrt{\frac{3-2t^2}{2-t^2}}\,\right)\\
\end{align*}
\[I-J=\int_0^1\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(t \sqrt{\frac{3-2t^2}{2-t^2}}\right){\rm d}t =\left.t \sqrt{\frac{3-2t^2}{2-t^2}}\,\right|_0^1=1.\]

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为什么要分开几层楼来写……
而且一点文字说明也没有,要不是我知道你在撸哪道题我也会不知道你在干嘛……
2#最后一式的代换写错了……

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回复 4# kuing
谢谢提醒,我马上修改一下

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回复 5# 青青子衿
2#改了,3#的还没改(谁让你分开帖子写

思路理解了计算没细看

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不能叫定积分解法,只能说是知道答案后,定积分验证。

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不能叫定积分解法,只能说是知道答案后,定积分验证。
而且呢,只能被动验证,而不能编题

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回复 7# wwdwwd117
是的,所以特意在敲标题的时候写了是“一道”呀!
但是,椭圆积分加法公式好像可以用来推广这个问题

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回复 6# kuing
终于改好了

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