[组合] $(1+x)^{2017}$展开式中，系数为偶数的有多少项？

RT，开始我猜的是2018-4=2014，结果用电脑算了下结果是1890，系数为奇数的项呈现一定的规律（第1+32k，2+32k项的样子吧）。
要怎么分析这道题呢？

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kuing

2^#

发表于 2018-8-14 12:59 | 只看该作者

又玩组合数奇偶性……http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=163

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tommywong

3^#

发表于 2018-8-14 19:40 | 只看该作者

https://en.wikipedia.org/wiki/Kummer%27s_theorem

$v_p(\binom{n}{k})=\frac{1}{p-1}(S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n))$

也就是在p進制時k加上n-k的進位次數

要求$\binom{n}{k}$不整除p即k加上n-k時不進位

設$n=\sum_i n_i p^i$，不整除p的$\binom{n}{k}$有$\prod_i (1+n_i)$個

p=2時就有$2^{S(n)}$個

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