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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» $(1+x)^{2017}$展开式中,系数为偶数的有多少项?
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郝酒
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发表于 2018-8-14 12:53
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只看该作者
[组合]
$(1+x)^{2017}$展开式中,系数为偶数的有多少项?
RT,开始我猜的是2018-4=2014,结果用电脑算了下结果是1890,系数为奇数的项呈现一定的规律(第1+32k,2+32k项的样子吧)。
要怎么分析这道题呢?
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kuing
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发表于 2018-8-14 12:59
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只看该作者
又玩组合数奇偶性……
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=163
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tommywong
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发表于 2018-8-14 19:40
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只看该作者
https://en.wikipedia.org/wiki/Kummer%27s_theorem
$v_p(\binom{n}{k})=\frac{1}{p-1}(S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n))$
也就是在p進制時k加上n-k的進位次數
要求$\binom{n}{k}$不整除p即k加上n-k時不進位
設$n=\sum_i n_i p^i$,不整除p的$\binom{n}{k}$有$\prod_i (1+n_i)$個
p=2時就有$2^{S(n)}$個
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