[几何] 一道等腰三角形和等边三角形的几何题

等腰三角形ABC，AB=AC，∠A=100°，D在AB延长线上，满足AD=BC，以BC为边向A点的相反方向作等边三角形EBC，求证：ED=BC.

还是同一个图形，如果将∠A=100°的条件换成是∠ACD=50°，仍然是求证：ED=BC.

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kuing

2^#

发表于 2018-8-12 16:21 | 只看该作者

感觉和这帖 http://kuing.orzweb.net/redirect ... =3076&pid=11785 （8楼）是同一个东东

http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4875

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郝酒

3^#

发表于 2018-8-12 18:55 | 只看该作者

感觉就是同一个图，几个条件颠来倒去，有的证起来比较简单，有的很难。

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isee

4^#

发表于 2018-8-12 19:59 | 只看该作者

回复 2# kuing

就是一个辅助线引出的连锁问题。 tid=4875 知角D为30度，于是点E是三角形BCD的外心

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isee

5^#

发表于 2018-8-13 16:17 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2018-8-13 16:34 编辑

(已解决)题1. 等腰三角形$ABC$，$AB=AC$，$\angle A=100^\circ$，$D$在$AB$延长线上，满足$AD=BC$，以$BC$为边向$A$点的相反方向作等边三角形$EBC$，求证：$ED=BC$.

(未解决)题2. 如图，等腰三角形$ABC$(钝角三角形)，$AB=AC$，$\angle ACD=50^\circ$，$D$在$AB$延长线上，满足$AD=BC$，求证：$\angle A=100^\circ$.

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kuing

6^#

发表于 2018-8-13 17:37 | 只看该作者

回复 5# isee

题 2 果断上三角啦……

由于题 2 与 `E` 无关，把它擦掉先。

设 `\triangle ACD` 的外接圆半径为 `R`，设 `\angle ACB=x`, $0<x<45\du$，则
\begin{align*}
AD&=2R\sin50\du,\\
CD&=2R\sin A=2R\sin2x,\\
CA&=2R\sin(2x-50\du),
\end{align*}
由张角定理有
\[\frac{\sin x}{CD}+\frac{\sin(50\du-x)}{CA}=\frac{\sin50\du}{BC}=\frac{\sin50\du}{AD},\]
所以
\begin{gather*}
\frac{\sin x}{\sin2x}+\frac{\sin(50\du-x)}{\sin(2x-50\du)}=1,\\
\frac{\sin(2x-50\du)+2\cos x\sin(50\du-x)}{2\cos x\sin(2x-50\du)}=1,\\
\frac{\sin(2x-50\du)+\sin50-\sin(2x-50\du)}{2\cos x\sin(2x-50\du)}=1,\\
2\cos x\sin(2x-50\du)=\sin50\du,\\
\sin(3x-50\du)+\sin(x-50\du)=\sin50\du,
\end{gather*}
由 $0<x<45\du$ 得 $-50\du<3x-50\du<85\du$，可见上式左边关于 `x` 是严格递增的，所以解是唯一的，而当 $x=40\du$ 时显然满足上面倒数第二条等式，所以 $x=40\du$。

注：isee 加的“(钝角三角形)”这一条件使后面变得简单，因为有了它，直接得出递增，而事实上，即使 `x` 的范围放宽到 $0<x<60\du$（即只需确保底边最大），解仍然唯一，只不过此时左边先增后减，则还需要证明 $x=60\du$ 时 `\text{左}>\text{右}` 才能证明唯一性，这些虽然说起来都是简单的，但又不能不说。

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isee