[不等式] 求证一个不等式

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kuing

2^#

发表于 2018-8-6 16:02 | 只看该作者

右边是不是抄漏了一项？事实上有
\begin{align*}
&\frac1{a^2+2bc}+\frac1{b^2+2ca}+\frac1{c^2+2ab}-\frac2{ab+bc+ca}-\frac1{a^2+b^2+c^2}\\
={}&\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca)}{(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)},
\end{align*}
所以
\[\frac1{a^2+2bc}+\frac1{b^2+2ca}+\frac1{c^2+2ab}\geqslant\frac2{ab+bc+ca}+\frac1{a^2+b^2+c^2}.\]

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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TSC999

3^#

发表于 2018-8-6 19:38 | 只看该作者

噢，说明原不等式较弱。题目是从数学研发网站上摘来的，这个题还没有人做出来呢。原题中没有最右边的那一项（见下面的第 5 题）。

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kuing

4^#

发表于 2018-8-7 13:52 | 只看该作者

回复 3# TSC999

这些题有的非常简单，有的非常困难，不知是怎么搞在一起的哩？

第一题分母用均值 `a^2+1+1+1\ge4\sqrt a`，然后去分母就只需证 `\sum\sqrt{bc}\le a+b+c`，显然；
第二题前两天的帖子证过了，也算是简单题；
第三题等价于正数 `xyz=1` 证 `\sum\frac1{1+x}\le2`，而经简单计算知 `\sum\frac1{1+x}-2=-\frac{x y+x z+y z+1}{(x+1) (y+1) (z+1)}`，显然且取不了等；

玩了前三题以为后面都是弱题？原来只是哄你进坑，第四题直接卡死……

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TSC999