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[几何] 等腰三角中的角度關係

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2018-7-27 20:38
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回复 1# 231908


看看着挻简单的,但这个相似(或角分线)就是构造不出来。。。。

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本帖最后由 isee 于 2018-8-9 11:27 编辑

回复 2# isee

最后放弃纯几法,直接利用三角函数计算。


trg.png
2018-8-9 11:19



如图实线(虚线不需要,未擦掉),记$EC=a,AD=b$,线段长度如图所标记。

在三角形$ADC$中,由余弦定理可得
$$\cos \alpha =\frac{3a-b}{2b},$$

从而在三角形$ADE$中,由余弦定理有
$$AE^2=b(b+3a),$$
而在三角形$ADE$中,再由余弦定理可得
$$\cos AED=\sqrt{\frac{b+3a}{4b}},$$

显然有$$2\cos^2 AED-1=\cos \alpha,$$
从而命题得证。

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如图:
112.png
2018-8-10 08:34

     分别取$ CD,DB,DC $中点$ F,N,O $,连接$ OF,ON,AO $,有\[ ON=DF=2OF \]取$ CM=BN $,延长$ AC $至$ P $使$ CP=CM $,有\[ \triangle MOP\cong \triangle DBF\sim \triangle FOE \]所以$ FNCO $四点共园和$ ECPO $四点共园,有\[ \angle FCM=\angle FOM \\\angle CPE=\angle COE\]又\[ \angle EMP+\angle MPE=90\du =\angle AOE+\angle EOC \]有\[ \angle EMP=\angle AOE \]故$ AOEM $四点共园,因此\[ \angle MAE=\angle MOE \]得\[ \angle AED=\angle ACE+\angle CAE=\angle FOM+\angle MOE=\angle FOE=\angle DEO=\angle DBF=\dfrac{1}{2}\angle ADE \]
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回复 4# 乌贼

谢谢,有一个笔误,所以FNCO四点共圆,应该是FMCO四点共圆.

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本帖最后由 isee 于 2018-8-10 11:37 编辑

回复 4# 乌贼

述写文字字母略有手误,不过,无伤大雅,这辅助线妙啊,把我想不通的地方全连接在一起了。

不过,可稍简化(反思)如下:

题目:在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$在$AB$上,且$CD=2BD$,$E$在$CD$上,且$DE=3EC$。
求证:$\angle ADE=2\angle AED$。

略整理(by 乌贼)过程:

trg01.png
2018-8-10 11:26


即作以$FO$为腰的等腰梯形$FOCM$,其中点$F$为$CD$的中点。
再构造四边形$EOPC$得到这四边形有外接圆且$\angle MEP$为直角。。。
这个直角,
将题中$AO\perp BC$转化为$A,O,E,M$四点共圆。。。
浑然天成。
再利用三角形外角即可得证。

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