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求二重级数和

本帖最后由 青青子衿 于 2018-8-17 18:33 编辑

\[\huge
\begin{align*}
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+n}}{m+n}&=\ln2-\frac{1}{2}\\
\\
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+n}\ln(m+n)}{m+n}&=\frac{1}{2}\ln\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\ln^2{2}-\gamma\ln{2}
\end{align*}
\]
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$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{x^{m+n}}{m+n},f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty x^{m+n-1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{1-x}=\frac{x}{(1-x)^2}$

$\displaystyle \int \frac{x}{(1-x)^2}dx=\int\frac{u-1}{u^2}du=lnu+\frac{1}{u}+C=ln(1-x)+\frac{1}{1-x}+C$

$\displaystyle f(x)=ln(1-x)+\frac{1}{1-x}-ln(1-0)-\frac{1}{1-0}=ln(1-x)+\frac{x}{1-x}$

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