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[几何] 解析几何有巧算吗

Capture.PNG
2018-7-12 22:47

抛物线$y^2=2px$上关于$x$轴对称的两个点A, A'处的切线交于P. 抛物线上任意一异于A, A'的点B处的切线分别交AP, A'P所在直线于C, D. 求证AC=PD.
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这当然应该玩几何方法咯……

QQ截图20180713011554.png
2018-7-13 01:15


由光学性质易知 `\angle FAP=\angle FPA`,即 `\angle FAC=\angle FPD`。

由《撸题集》第 54 页定理 1.2.1 知 `P`, `C`, `F`, `D` 四点共圆,所以 `\angle ACF=\angle PDF`。

因为 `PF` 平分 `\angle CPD`,所以 `FC=FD`。

由以上三点可知 `\triangle FAC\cong\triangle FPD`,所以 `AC=PD`。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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本帖最后由 isee 于 2018-7-13 12:49 编辑

每次看到 kuing 的《撸题集》第 54 页定理 1.2.1,都觉得那个倒角的证明是属于kuing的:论坛里(4楼)

换种表述形式——给个另证。

命题:已知抛物线焦点为$F$,过抛物线外部任意一点$C$作抛物线两切线,切点分别为$A$,$B$,则有$\angle FAC = \angle FCB$.

另证:辅助线如图,$A'F'$是抛物线的准线,$EG$是$y$轴,$OD$是$x$轴.

p-t.png
2018-7-13 12:22



直线$AE$交$x$轴于点$D$,由抛物线的光学性质及定义知$$AF=AA'=FD,$$
这就有$$\angle D=\angle FAC.$$
另一方面$$AA'=F'A'',$$
于是$$FD=F'A''$$
又$O$为$FF'$的中点,知,$O$亦是$DA''$的中点,记直线$EA$交$y$轴于$E$,则$$DE=EA,$$
连接$EF$即有$$FE\perp CA.$$
同理对另一条切线有$$FG\perp CB.$$
于是$E$,$C$,$G$,$F$四点共圆,故$$\angle FCB=\angle FEG=\angle D=\angle FAC.$$


特别的,作第三条切线与前两条切线相交,


p-ta.png
2018-7-13 12:44



对$CA$,$CB$切线,有$\angle FCB=\angle FAC$,对$HP$,$HA$切线,有$\angle FHI=\angle FAC$,于是$\angle FCA=\angle FHI$,这样$C$,$I$,$F$,$H$这四点共圆.

当点$C$落在$x$轴上时,便是主楼了.



以上其实都是废话,只是个人重新认识这个题,特别是那个另证.

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回复 3# isee

这种老东东属不属于谁都没所谓了,都是被玩烂的东东,大家无非都在重复发现

PS、引理 1.2.1 我的证明(第 998 页处)的后半部分其实证得也不是很好,后来在群里 wwd 给了一个更好看的证明:
[2018-05-16 减压群群聊记录]
生如夏花(2365*****) 20:18:08
QQ图片20180713140051.png
2018-7-13 14:01

@大色k
就这几行想了一个多小时
大色k(249533164) 20:22:03
很好啊,证得比我撸题集里简单

这个证明不但非常好看,而且无需分 K 在准线哪边,所以图中 I、N 两点亦无需标出。

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回复 4# kuing


本质和你原证一样,反思后的优化,是很漂亮简洁,学习了。

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很多漂亮的结论啊。

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