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[不等式] 一道不等式題

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2018-7-10 00:46
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本帖最后由 12673zf 于 2018-7-10 12:47 编辑

回复 1# 231908


    帮你排个版
已知$a,b,c,d∈R, a+b+c+d=0$,
求证:$1296(a^7+b^7+c^7+d^7)^2\leqslant637(a^2+b^2+c^2+d^2)^7$.

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回复 2# 12673zf
谢谢

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本帖最后由 12673zf 于 2018-7-10 13:16 编辑

回复 2# 12673zf


    想了一下,没什么结果,$1296=(2^4)(3^4)$,但637=7·7·13就没辙了,想象不到何时取等号。
对于一般的$a,b,c,d, (a^2+b^2+c^2+d^2)^7>(a^7+b^7+c^7+d^7)^2> (1/4^5)·(a^2+b^2+c^2+d^2)^7$
不太清楚$a+b+c+d=0$怎么用

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左边还可以再大一些,加强为:
\[\frac{48}{13}\cdot1296(a^7+b^7+c^7+d^7)^2\leqslant637(a^2+b^2+c^2+d^2)^7.\]

把13乘过去可以写得更吓人一些
\[62208(a^7+b^7+c^7+d^7)^2 \leqslant 8281(a^2+b^2+c^2+d^2)^7.\]
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 5# kuing

求解

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虽然系数大次数高挺吓人,但其实并没有那么难。
`a`, `b`, `c`, $d\inR$, `a+b+c+d=0`,求证
\[62208(a^7+b^7+c^7+d^7)^2 \leqslant 8281(a^2+b^2+c^2+d^2)^7.\]

证明:设 `a+b=2x`,则 `c+d=-2x`,于是可设 `a=x+y`, `b=x-y`, `c=-x+z`, `d=-x-z`,其中 `x`, `y`, $z\inR$,代入不等式中展开分解,最终可化简为
\[1944x^2(y^2-z^2)^2\bigl(3x^4+5x^2(y^2+z^2)+y^4+z^4+y^2z^2\bigr)^2\leqslant 169(2x^2+y^2+z^2)^7,\]
只需证
\[1944x^2(y^2+z^2)^2\bigl(3x^4+5x^2(y^2+z^2)+(y^2+z^2)^2\bigr)^2\leqslant 169(2x^2+y^2+z^2)^7,\]
令 `u=x^2`, `v=y^2+z^2`,则 `u`, `v\geqslant 0`,上式即
\[1944uv^2(3u^2+5uv+v^2)^2\leqslant 169(2u+v)^7,\]
因式分解为
\[(4u-v)^2(1352u^5+5408u^4v+8624u^3v^2+6244u^2v^3+1774uv^4+169v^5)\geqslant 0,\]
显然成立,即得证。

PS、有取等条件 `a:b:c:d=1:1:1:-3`,所以加强后的系数是最佳的。
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回复 7# kuing

这个因式分解是人做的么

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回复 8# 231908

不是

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回复 8# 231908

最后那里不分解,用凑均值也可以。

待定 `\lambda\in(0,1)`,则由加权均值不等式有
\begin{align*}
&uv^2(3u^2+5uv+v^2)^2\\
={}&4^2\cdot39^2\cdot(u^2)^{(1-\lambda)/2}\cdot\left( \frac{uv}4 \right)^\lambda\cdot\left( \frac{v^2}{16} \right)^{(2-\lambda)/2}\cdot\left( \frac{3u^2+5uv+v^2}{39} \right)^2\\
\leqslant{}&4^2\cdot39^2\cdot\left( \frac27 \right)^{7/2}\left( \frac{1-\lambda}2\cdot u^2+\lambda\cdot\frac{uv}4+\frac{2-\lambda}2\cdot\frac{v^2}{16}+2\cdot\frac{3u^2+5uv+v^2}{39} \right)^{7/2},
\end{align*}
取 `\lambda=62/117`,代入化简即得
\begin{align*}
uv^2(3u^2+5uv+v^2)^2&\leqslant16\cdot39^2\cdot\left( \frac27 \right)^{7/2}\left( \frac7{72}(2u+v)^2 \right)^{7/2}\\
&=16\cdot39^2\cdot6^{-7}\cdot(2u+v)^7\\
&=\frac{169}{1944}(2u+v)^7,
\end{align*}
所以
\[1944uv^2(3u^2+5uv+v^2)^2\leqslant 169(2u+v)^7,\]
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回复 10# kuing
kuing,厉害了word神。

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