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发表于 2013-10-27 23:52 | 只看该作者

[几何] 梯形对角线变梯形－向量法8楼－极简9楼

本帖最后由 isee 于 2013-12-23 23:56 编辑

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛，几何题。

谁供题就不知道了，不过，这题题目很纯朴，解答起来也有点意思，发来给大家玩玩。另外，觉得今年的高中数学联赛数学题题目简洁，好玩，翻了一下数学通讯杂志，唉还真有初赛，或相关竞赛的东东，结果是，查到两题（另一题在蝴蝶定理那里的37楼）都喜欢用对称呢。

题目

如图，梯形$ABCD$中，$B$、$D$关于对角线$AC$对称的点分别是$B’$、$D’$，$A$、$C$关于对角线$BD$对称的点分别是$A'$、$C'$.
证明：四边形$A'B'C'D'$是梯形．

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kuing

2^#

发表于 2013-10-28 01:05 | 只看该作者

题目很有趣，尽管它显然成立……

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kuing

3^#

发表于 2013-10-28 01:36 | 只看该作者

一般地，只要保持 $A$、$O$、$C$ 三点共线，$B$、$O$、$D$ 三点共线，$O$ 在它们之间而且分它们连线的比例不变，那么平行的仍然平行，这么看题目的两次反射是特例中的特例……

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爪机专用

4^#

发表于 2013-10-28 02:36 | 只看该作者

话说这道题也可以不配图了。

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isee

5^#

发表于 2013-10-28 09:48 | 只看该作者

一般地，只要保持 $A$、$O$、$C$ 三点共线，$B$、$O$、$D$ 三点共线，$O$ 在它们之间而且分它们连线的比例 ...
kuing 发表于 2013-10-28 01:36

是这样。

这题难就难在图上了，在纸上画图，图形会很复杂，在复杂的图中抓住需要的信息。

不想，秒秒钟被你看透实质了

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isee

6^#

发表于 2013-12-23 17:25 | 只看该作者

这周需要结帖的帖子，标记，先

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其妙

7^#

发表于 2013-12-23 17:52 | 只看该作者

话说这道题也可以不配图了。
爪机专用发表于 2013-10-28 02:36

你莫非要用解几、向量、复数之类的代数法？

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isee

8^#

发表于 2013-12-23 20:55 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2013-12-23 22:17 编辑

回复 7# 其妙

这题不配图有点难，如果不需要图就能明白，那则对射影几何（或者其结论）比较熟悉。

我就准备用向量的，几步的事。

核心步骤：

\begin{align*}
\vv {A'D'}&=\vv {A'A}+\vv {AD}+\vv {DD'}\\
&=k\vv {CC'}+k\vv {BC}+k\vv {B'B},k\ne 1\\
&=k(\vv {B'B}+\vv {BC}+\vv {CC'})\\
&=k\vv {B'C'}
\end{align*}

补充解释一下，图两阴影等腰三角形$\triangle CBC' \sim \triangle ADA'$，理由是 $CB \sslash AD,CC' \sslash AA'$。
($DD',B'B$类同以上处理)

从而$k=\dfrac {AA'}{CC'}=\dfrac {AD}{BC}\ne 1$

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isee

9^#

发表于 2013-12-23 22:25 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2013-12-23 22:28 编辑

一般地，只要保持 $A$、$O$、$C$ 三点共线，$B$、$O$、$D$ 三点共线，$O$ 在它们之间而且分它们连线的比例 ...
kuing 发表于 2013-10-28 01:36

我想，kuing的意思大约是，（也是不屑此题的原因吧），原梯形的对角线相交于O。

BD关于AC对称，则O为不动点，且D',O,B'三点共线；同样的C',O,A'三点共线，如图，真的不用多说了。

此法极简，是看了kuing的回复，才想到这个方向的。

我个人说和射影几何有关，我觉得的确是有关系吧，这个轴对称可用射影连续变换的……印象里是这样，不一定准。

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其妙

10^#

发表于 2013-12-24 00:00 | 只看该作者

回复 8# isee
我也猜或者预感用向量可行，但没想到你做的这么爽！

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[几何] 梯形对角线变梯形－向量法8楼－极简9楼

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