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[函数] 一个函数(原本阿氏圆)的最值问题

如果不用数形结合(阿氏圆)各位高人怎么玩?
已知存在实数$x$使$f(x)=2\sqrt{(cosx+\dfrac{1}{2})^2+sin^2x}-\sqrt{cos^2x+(sinx-\dfrac{1}{2})^2}\geqslant m$,求$m$的取值范围.
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将阿氏圆翻译成纯代数过程即可写出不用数形结合的装逼解法

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回复 2# kuing
如果没有对阿氏圆有深入的思考,这样的题真是只能画个圆就止步了。所以,我想能不能用算来血拼.

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因为
\begin{align*}
(2\cos x+1)^2+4\sin ^2x&=4\cos ^2x+4\sin ^2x+4\cos x+1\\
&=4+4\cos x+\cos ^2x+\sin ^2x\\
&=(\cos x+2)^2+\sin ^2x,
\end{align*}
所以
\begin{align*}
f(x)&=\sqrt {(\cos x+2)^2+\sin ^2x}-\sqrt {\cos ^2x+\left( {\sin x-\frac 12} \right)^2}\\
&\leqslant \sqrt {\cos ^2x+\left( {\sin x-\frac 12} \right)^2}+\sqrt {2^2+\left( {\frac 12} \right)^2}-\sqrt {\cos ^2x+\left( {\sin x-\frac 12} \right)^2}\\
&=\frac {\sqrt {17}}2,
\end{align*}
取等懒得写。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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如果我不说2楼的那句话,而是直接贴出楼上的过程,你会不会被我忽悠到?

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回复 5# kuing
我觉得k神是用了三角不等式啊。而不是所说的改写装逼式。

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本帖最后由 isee 于 2018-6-15 14:49 编辑

回复 1# 力工
回复 2# kuing
回复 3# 力工
稍微解释一下,前三楼。

化题:记$A(\cos x,\sin x),B(-0.5,0),C(0,0.5)$ ,则$$y=2AB-AC.$$

分析:化去$AB$前的$2$倍,设$2AB=AQ$则$$\frac{AB}{AQ}=\frac 12.$$

Apollonius.png
2018-6-15 14:45



在结合已知点$A$在单位圆上,且$B$为定点,于是点$A$到定点$B$,$Q$距离之比为$0.5$,此时,点 A 所在的圆就阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.


解法:

令$$OA^2=OB\cdot OQ,\Rightarrow OQ=2,$$取点$Q(-2,0)$则有$$\triangle OBA\sim\triangle OAQ,\Rightarrow \frac{AB}{AQ}=\frac{OA}{OQ}=\frac 12.$$
这样一来,$$y=2AB-AC=AQ-AC\geqslant QC=\frac{\sqrt{17}}2.$$
取“=”时,$A$,$Q$,$C$三共线,且点$A$在$QC$的延长线上.

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回复  kuing
我觉得k神是用了三角不等式啊。而不是所说的改写装逼式。
力工 发表于 2018-6-15 07:40

你用阿氏圆最后是不是要用到两边之差小于第三边?那三角形不等式的几何意义是什么?
都说了是改写的你还觉得不是,看来忽悠你真是很容易随便换个包装你就以为是解法二了

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回复kuing
GeoGeBra 如何批量更改点名称(?标签?)的大小?折腾好一会都没发现在那里可以设置。

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回复 9# isee
不知道,好久没用它了,只是N年前用过一段时间

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回复 10# kuing


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此题一看吓一跳,拼凑那个图像太明显。

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