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[几何] 2018年天津卷理科第8题 向量内积

本帖最后由 isee 于 2018-6-21 14:19 编辑

来了来了,不过,不想算。。。

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如图,在平面四边形$ABCD$中,$AB \bot BC$ ,$AD \bot CD$ ,$\angle BAD = 120^\circ $ ,$AB = AD = 1$ . 若点$E$为边$CD$上的动点,则$\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {BE} $ 的最小值为

选项略
8.png
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不用怎么算啊,又用那啥就行了 $4\vv{EA}\cdot\vv{EB}=(\vv{EA}+\vv{EB})^2-(\vv{EA}-\vv{EB})^2$,下略。

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211.png
2018-6-9 03:03

\[ \vv{AE}\cdot\vv{BE}=AE\times EF=EM^2=EO^2-MO^2\geqslant (EN+NO)^2-\dfrac{1}{4}=(1+\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{1}{4}=\dfrac{21}{16} \]

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回复 3# 乌贼
有见套路题(积化。。。。)

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\[ \vv{AE}\cdot\vv{BE}=AE\times EF=EM^2=EO^2-MO^2\geqslant (EN+NO)^2-\dfrac{1}{4}=(1+\dfrac{1}{4}) ...
乌贼 发表于 2018-6-9 03:03


这种切割线的构造实在是厉害

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回复 2# kuing


然后咋办?

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本帖最后由 isee 于 2018-6-11 10:52 编辑

常规计算如下。

设$ED=x$,则
\begin{align*}
\vv {EA}\cdot\vv{EB}&=(\vv{ED}+\vv{DA})(\vv{EC}+\vv{CB})\\
&=\vv{ED}\cdot\vv{EC}+\vv{ED}\cdot\vv{CB}+\vv{DA}\cdot\vv{EC}+\vv{DA}\cdot\vv{CB}\\
&=-x(\sqrt 3-x)+\frac {\sqrt 3 x}2+0+\frac{\sqrt 3}2\\
&=\left(x-\frac {\sqrt 3}4\right)^2+\frac{21}{16}\\
&\geqslant \frac {21}{16}
\end{align*}

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回复 6# isee

然后还用我说?

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回复 8# 色k

没理解到方向。。说吧。。

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回复  isee

然后还用我说?
色k 发表于 2018-6-11 11:12



不要说取AB中点吧?然后此中点到CD距离最小?最后与3楼同质?

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回复 10# isee

当然啊

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本帖最后由 游客 于 2018-6-11 14:00 编辑

未命名.PNG
2018-6-11 13:56


2楼的运算可以用上这个矩形。

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