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[数列] 2018年江苏卷第20题 数列+绝对值+不等式

本帖最后由 isee 于 2018-6-21 15:07 编辑

江苏卷的压轴题,这个应该有挑战性


设$\{a_n\}$是首项为${a_1}$,公差为$d$的等差数列,$\{b_n\}$是首项为${b_1}$,公比为$q$的等比数列.
(1)设${a_1}=0,{b_1}=1,q=2$,若$|a_n-b_n|\le b_1$对$n=1,2,3,4$均成立,求$d$的取值范围;
(2)若$a_1=b_1>0,m\in N^*,q\in (1,\sqrt[m]{2}]$,证明:存在$d\in R$,使得$|a_n-b_n|\le b_1$对$n=2,3,\cdots ,m+1$均成立,并求$d$的取值范围(用$b_1,m,q$表示).
20(2).png
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这样处理下,两边除以$b_1$,即$\abs{\frac{a_n}{b_1}-\frac{b_n}{b_1}}\le1$---①
点$(n,\frac{b_n}{b_1})$在$y=q^{x-1}$上,点$(n,\frac{a_n}{b_1})$在直线$y-1=\frac{d}{b_1}(x-1)$上
要符合距离差不大于1的条件,必要条件是n=m+1时①要满足,这样直线要夹在AC,AD间,即$\frac{q^m-2}{m}\le \frac{d}{b_1}\le\frac{q^m}{m}$此时可以证明$y=q^{x-1},x\in [1,m+1]$导数小于AD斜率,即对任意$x\in [1,m+1]$,①都成立.
QQ截图20180609224621aaa.png
2018-6-9 23:02

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