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[函数] 2018年北京卷理科第20题 集合

本帖最后由 isee 于 2018-6-21 14:54 编辑

免得说北京卷简单,北京卷的尾巴一直是翘的,我只是发上来……

文字版:


设$n$为正整数,集合$A=\{\alpha |\alpha =(t_1,t_2,\cdots ,t_n),t_n\in \{0,1\},k=1,2,\cdots ,n\}$.对于集合$A$中的任意元素$\alpha =(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$和$\beta =(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$,记
$M(\alpha,\beta)=\frac 12 \big((x_1+y_1-|x_1-y_1|)+(x_2+y_2-|x_2-y_2|)+\cdots +(x_n+y_n-|x_n-y_n|)\big)$.
(Ⅰ)当$n=3$时,若$\alpha =(1,1,0)$,$\beta =(0,1,1)$,求$M(\alpha ,\alpha)$和$M(\alpha ,\beta)$的值;
(Ⅱ)当$n=4$时,设$B$是$A$的子集,且满足:对于$B$中的任意元素$\alpha ,\beta $,当$\alpha,\beta $相同时,$M(\alpha,\beta)$是奇数;当$\alpha,\beta $不同时,$M(\alpha,\beta)$是偶数.求集合$B$中元素个数的最大值;
(Ⅲ)给定不小于$2$的$n$,设$B$是$A$的子集,且满足:对于$B$中的任意两个不同的元素$\alpha ,\beta $,$M(\alpha,\beta)=0$.写出一个集合$B$,使其元素个数最多,并说明理由.
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难道兜这么大个圈就是数量积?

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回复 2# kuing

我没看,只是发上来……因为只是感觉填空与选择压轴有点基础,想着压轴平衡一下。。。

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回复 3# isee

因为分量只能是 0 和 1,故对于 `\frac12(x_1+y_1-|x_1-y_1|)` 来说,显然只有当 `x_1=y_1=1` 时为 `1`,其余时候都为零,这等同于 `x_1y_1`,所以 `M(a,b)` 就是 `\bm a\cdot\bm b`。

这样的话,应该就不难了,至少第三问答案明显就是 `n+1`,要两两垂直,集合应由 `n` 个单位向量及零向量组成,严格证明可能要用到数归,怎样才能叙述得好还得想想。

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回复 4# kuing

噢,我逗了,第三问还数归个啥,很容易证。
设设 B 中的元素 `\alpha_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in})`,将它们排成矩阵\[\begin{matrix}
x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\
x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots
\end{matrix}\]要任意两个不同的 `\alpha_i` 都垂直,每一列中就最多一个 1,所以这个矩阵中最多 `n` 个 1,所以,如果有 `n+2` 行的话,必然有两行全为 0,矛盾。

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回复 2# kuing


回复 4# kuing


一语中地啊,北京卷北京卷

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本帖最后由 zhcosin 于 2018-6-10 18:56 编辑

(1)略.
  
  (2) 可以验证,无论 $x$、$y$ 两个数的大小情况如何,均有
  \[ \frac{1}{2} [(x + y - | x - y |)] = \min (x, y) \]
  因此在题设条件下,有 $M (\alpha, \beta) = \sum_{i = 1}^n \min(x_i, y_i)$.
  
  在 $n = 4$ 的情况下,设 $\gamma$ 是 $A$中任一元素,要使得它能够属于 $B$,则 $\gamma$ 的分量中1的个数只能是奇数,这样才能使得 $M (\gamma, \gamma)$ 是奇数,符合这条件的 $\gamma$ 有 $C_4^1 + C_4^3 = 8$ 个,分别为分量为只有一个1的
  \[ \alpha_1 = (1, 0, 0, 0), \alpha_2 = (0, 1, 0, 0), \alpha_3 = (0, 0, 1,0), \alpha_4 = (0, 0, 0, 1) \]
  与分量有3个1的
  \[ \beta_1 = (0, 1, 1, 1), \beta_2 = (1, 0, 1, 1), \beta_3 = (1, 1, 0, 1), \beta_4 = (1, 1, 1, 0) \]
  而为了使 $M (\alpha, \beta)$ 为偶数,在将 $\alpha$、$\beta$对应的分量取较小者之后得到的新元素 $\gamma$ 的分量中,1的个数必须是偶数个,按此标准,在上述被分成两组的8个元素中,如果这两个不同的元素分别取自上下两个组中的同一组中,那么条件是满足的,但是如果是取自于不同组中,那么可以发现,$\alpha_k$ 仅与 $\beta_k$ 即下标相同的两个元素是符合条件的,而下标不同的两个元素 $\alpha_i$ 与 $\beta_j (i \neq j)$ 则不符合条件,因此 $B$ 中元素个数的最大值是4,即只有拥有上组的全部元素,或者只拥有下组的全部元素.
  
  (3) 要对于 $B$ 中任意两个不同的元素 $\alpha$、$\beta$ 都有 $M (\alpha, \beta) = 0$,那么在对这两个元素的分量都取较小者之后,1的个数只能是零,这表示这两个不同的元素每一个分量上,至少有一个元素的分量是零,换言之,任意两个 $B$中的元素不能在同一个分量上同时为1,那么现在我们已经可以构造出一个 $B$ 了,设 $\alpha_i$ 是第 $i$ 个分量为1而其余分量全是零的元素,再设 $\alpha_0$ 是全部分量都是零的元素,那么 $B = \{ \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \}$ 显然是符合题意的,事实上,它也是元素个数最大的了,这是因为,假使 $B$ 中有 $m$ 个元素 $B = \{ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \}$,把这些元素的分量按行写成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵(每个元素一行),第一行是 $\beta_1$ 的各分量,第二行是 $\beta_2$ 的各分量,依次类推,第 $m$ 行是 $\beta_m$ 的各分量,那么在这个矩阵中,每一列都不能同时有两个或者更多的1,所以每一列都最多只能一个1,如果同一行有多个1,那么可以把这一行拆分成若干个只有一个分量为1的元素,也就是把这矩阵中的这一行拆分成多行,显然,这样拆分在增加了元素个数的同时,又不会违反原有的限制,所以,最终的结果就是,每一行也最多只有一个1,这正是前述我们所构造出来的情况。

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