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[函数] 一个与最值相关的计算问题

表示计算很繁。已知直线$y=kx+2$与曲线$y=e^x$交于$A,B$两点,求$\triangle AOB$面积最小时的$k$值。
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我家停电了,只能手写了下,爪机上又发不了图上来,585帮我发下

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QQ图片20180515140534.jpg
2018-5-15 14:07

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回复 3# Tesla35

谢谢585

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回复 4# 色k
色k神啦!我绕死了。

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回复 5# 力工

手写得比较简略,等来电了再码代码

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回复 4# 色k


你这字是认真的嘛

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来了,码一下。

设 `A`, `B` 的横坐标分别为 `x_1`, `x_2`,则\begin{align*}
kx_1+2&=e^{x_1},\\
kx_2+2&=e^{x_2},
\end{align*}易证\[\S{OAB}=\abs{x_1-x_2},\]设\[f(x)=\frac{e^x-2}x,\]则\[f(x_1)=f(x_2)=k,\]由此易知 $\S{OAB}$ 取最小值时必有\[f'(x_1)=f'(x_2),\]求导有\[f'(x)=\frac{e^x(x-1)+2}{x^2},\]所以\[\frac{(kx_1+2)(x_1-1)+2}{x_1^2}=\frac{(kx_2+2)(x_2-1)+2}{x_2^2},\]化简即\[\frac{2-k}{x_1}=\frac{2-k}{x_2},\]由于 `x_1\ne x_2`,所以如果 $\S{OAB}$ 存在最小值,则只能是 `k=2` 时取得,至于最小值存在性是显然的,所以结果就是 `k=2`。

注1:关于“$\S{OAB}$ 取最小值时必有 `f'(x_1)=f'(x_2)`”这一点可以从几何意义看出来,当然也可以严格地证:
\[\frac{\rmd(x_1-x_2)}{\rmd k}=\frac1{\rmd k/\rmd x_1}-\frac1{\rmd k/\rmd x_2}
=\frac1{f'(x_1)}-\frac1{f'(x_2)}.\]
注2:如果将直线改成 `y=kx+b`,其中 `b` 为大于 `1` 的常数,则结论为:当 `k=b` 时面积最小。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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增加了两个注

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回复 9# kuing

伏地膜大神,谢谢,有图有解有注释。

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需要好好研究一下此题。

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未命名.PNG
2018-5-16 10:55

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