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[几何] 三点共线

未命名.JPG
2018-5-8 22:37
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回复 1# guanmo1

发网友的解答,用的是坐标法,这种方法我一直没学会:
设三角形是$\triangle A_1A_2A_3$,易知$H=(\sec A_1,\sec A_2, \sec A_3)$,设$P = (p_1,p_2,p_3)$,设$HB_i \perp PA_i = B_i, HB_i \cap A_sA_t = C_i, s,t \neq i$。易知$HB_1=(*,p_2(\sec A_1+\cos A_2\sec A_3), p_3(\sec A_1+\cos A_3\sec A_2))$,其中$*$不影响后面的计算。因此$C_1=(0,p_3(\sec A_1+\cos A_3\sec A_2),-p_2(\sec A_1+\cos A_2\sec A_3))$。同理可知
\[C_2=(-p_3(\cos A_3\sec A_1+\sec A_2)),0,p_1(\sec A_2+\cos A_1\sec A_3))\]
\[C_3=(p_2(\cos A_2\sec A_1+\sec A_3),-p_1(\cos A_1\sec A_2+\sec A_3),0)\]
显然$\begin{vmatrix}C_1,C_2,C_3\end{vmatrix}=0$,因此共线。

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常见的竞赛题(不代表我做过,仅给出参考),链接中的例7

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