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[几何] u,v,w三复数和差

设u,v,w是复数,且$\abs{u}=\abs{v}=\abs{w}=1$,证明:存在$a,b,c\in ${-1,1}
使得$\abs{au+bv+cw}\le 1$.
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不等号方向反啦。。。

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本帖最后由 realnumber 于 2018-4-26 18:27 编辑

都可以,大致图形可以猜到,怎么表达还要想想。
QQ截图20180426180917--aa.png
2018-4-26 18:10

如图,圆心在原点的单位圆,适当取a,b,c的值,可以得到au,bv,cw分别对应B,C,D三点对应的复数(“间隔一个取”,也就是说给定B,C后,D点只能在B'C'这段劣弧上运动(包括端点,特别当D移动到B'或C'时,之和的模等于1了),此时不等式成立了。大概D点在B'C'优弧上运动时,不等式反向了。

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本帖最后由 realnumber 于 2018-4-26 18:58 编辑

QQ截图20180426180917--aabb.png
2018-4-26 18:54

以F为圆心半径1作圆,可见M在圆O内,即1楼不等式成立。
$\vv{OB}+\vv{OC}=\vv{OF},\vv{OF}+\vv{OD}=\vv{OM}$

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用三角来玩也可以。

画出单位圆以及三个复数所在直线,形成如下图形。

QQ截图20180426205906.png
2018-4-26 20:58


取适当的 `a`, `b`, `c` 使 `\{au, bv, cw\}` 所在的线段为 `\{OA_1,OA_3,OA_5\}`,下面证明此时必有 $\abs{au+bv+cw}\leqslant 1$,即证 $\bigl|\vv{OA_1}+\vv{OA_3}+\vv{OA_5}\bigr|\leqslant 1$。

记 `\angle A_1OA_2=x`, `\angle A_2OA_3=y`, `\angle A_3OA_4=z`,待证式两边平方展开即 `3+2\cos(x+y)+2\cos(y+z)+2\cos(z+x)\leqslant 1`,即 `\cos x+\cos y+\cos z\geqslant 1`,这样就变成了常规的三角不等式,利用三角形内的恒等式 `\cos A+\cos B+\cos C=4\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2)+1` 即得。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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两个单位向量的和向量的模,与这两个单位向量的夹角的关系,代数也可以。

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