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[几何] 几何很浓的向量高三一调填空题:$\vv {BD}=x\vv{BA}+y\vv{BC}$

本帖最后由 isee 于 2018-4-15 07:57 编辑

福州2018年3月高三理科一调第16题(有答案,可自查)
fz2018.png
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然而并没什么几何的东西在里面,只是考你对向量坐标的理解。

为了更易理解,把图形这样放:
QQ截图20180414013759.png
2018-4-14 01:44

那么,在以 $\vv{BA}$, $\vv{BC}$ 为基底建立的坐标系中,直线 `AC` 的方程就是 `x+y=1`,即 `y=-x+1`,
而由 `\angle DCA=2\angle BAC` 可知 `CD` 与 `AC` 的斜率相反,因此直线 `CD` 的方程就是 `y=x+1`,即 `x-y=-1`,
所以答案就是 `-1`。

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回复 2# kuing
但我理解了isee的几何方法,等量延长CB至E,再延长AE、DB交于F,利用垂直条件和2倍角,立得AEF//DC,于是BD=BF,立得$x-y=-1$

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回复 2# kuing


最好,$AC$的斜率改为$-\tan \alpha$,当然,浪费掉好的题的方法,是抢时间的,推荐的

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回复  kuing
但我理解了isee的几何方法,等量延长CB至E,再延长AE、DB交于F,利用垂直条件和2倍角,立得AE ...
其妙 发表于 2018-4-14 01:51


啧,浓浓几何味

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回复  kuing


最好,$AC$的斜率改为$-\tan \alpha$,当然,浪费掉好的题的方法,是抢时间的,推荐的 ...
isee 发表于 2018-4-14 09:16


nonono,斜率就是 `-1`,因为我那基底是 $\vv{BA}$, $\vv{BC}$,而不是单位向量

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回复 6# 色k

哎,服了服了。。。。。外星人,k

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回复 3# 其妙

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当然可以将直线看作斜率-1,另外自然位1了,特殊值玩玩就行了,没有必要伤脑筋,偷偷懒懒。

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回复  kuing
但我理解了isee的几何方法,等量延长CB至E,再延长AE、DB交于F,利用垂直条件和2倍角,立得AE ...
其妙 发表于 2018-4-14 01:51


还能更简些(好像是标答给的)。

延长AB,DC相交于点M,则
\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC}\\
&=-x\vv{BM}+y\vv{BC}\\
\therefore -x+y&=1
\end{align*}

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当然可以将直线看作斜率-1,另外自然位1了,特殊值玩玩就行了,没有必要伤脑筋,偷偷懒懒。 ...
敬畏数学 发表于 2018-4-14 14:28

不是“看作”,是真的是-1,见6#的解释,这并不是玩特殊值,我从不玩特殊值。唉

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当然可以将直线看作斜率-1,另外自然位1了,特殊值玩玩就行了,没有必要伤脑筋,偷偷懒懒。 ...
敬畏数学 发表于 2018-4-14 14:28

人家“酷淫”早在2楼就已经说了“”然而……,只是考你对向量坐标的理解。”,只要你理解了向量坐标就是“基向量的系数”就可以啦,从而得到点在基向量下的坐标(可能不是正交坐标系下的坐标,所谓正交指的是既垂直又是单位向量的两个向量作为基底,此时的斜率$k$就是$k=\tan\alpha$,如果不是垂直或者不是单位向量,那么斜率$k\neq\tan\alpha$),直线的方程$y
=kx+b$的$k$叫“斜率”是应当加引号的(是广义的斜率了,不是平常的狭义的斜率了)

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还能更简些(好像是标答给的)。

延长AB,DC相交于点M,则
\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC} ...
isee 发表于 2018-4-14 14:38

两种辅助线方法本质上是一样的,都是构造等腰三角形的三线合一,此时两种辅助线方法都成功的利用了“垂直和2倍角条件”。基本上是一样的思维量和计算量

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两种辅助线方法本质上是一样的,都是构造等腰三角形的三线合一,此时两种辅助线方法都成功的利用了“垂直 ...
其妙 发表于 2018-4-14 15:51


扯,辅助线少多了。不听你说的

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回复 12# 其妙
你说得这些显然。但是直线方程这套东西?

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仿射坐标下的直线方程其实就是三点共线的那个结论:m+n=1.
要延长就延长AB和DC好了.

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本帖最后由 isee 于 2018-4-17 17:28 编辑

只能说,论坛里的朋友水准真的很高,不仅秒了,且看透了问题的实际。


考场硬算。

另解

$$\vv {BD}=x\vv{BA}+y\vv{BC}\iff \vv {CD}=x\vv{BA}+(y-1)\vv{BC}.$$
两边分别点乘$\vv{BA},\vv{BC}$可得到
$$\left\{\begin{aligned} \vv{CD}\cdot {BA}=xBA^2,\\\vv{CD}\cdot \vv{BC}=(y-1)BC^2 \end{aligned}\right.$$

设$\angle ACB=\alpha$,则$\angle ACD=\pi-\alpha$,方便书写,记$BC=a,AB=c,\frac{CD}{AC}=m$,
$$\left\{\begin{aligned} x=CD\sin\alpha=m,\\y=m+1\end{aligned}\right.\Rightarrow x-y=-1.$$

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本帖最后由 isee 于 2018-4-17 17:43 编辑

另另解

fz2018d.png
2018-4-17 17:32



将$\triangle ABC$沿$AC$翻折得到$\triangle ABE$,由题设可知$$AE \sslash DC.$$

\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC}\\
\vv {CD}&=x(-0.5\vv{EC}+\vv{EA})+(y-1)\cdot 0.5\vv{EC}\\
\vv {CD}&=-0.5(x-y+1)\vv{EC}+x\vv{EA}
\end{align*}

又$$\vv{AE} \sslash \vv{DC}.$$
故$$-0.5(x-y+1)=0.$$

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另另解



将$\triangle ABC$沿$AC$翻折得到$\triangle ABE$,由题设可知$$AE \sslash DC.$$

\begin{align ...
isee 发表于 2018-4-17 17:34

你这就把3楼的过程详细化了,是不是?

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回复 16# 游客
要得,就是这意思咯!

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