有点弱啊,首先当 $a=b=c=1$ 时原式等于 $3/16$,下面证明
\[\sum\frac 1{(2a+b+c)^2}\leqslant \frac 3{16},\]
条件去分母为 $ab+bc+ca=abc(a+b+c)$,所以上式齐次化即证
\[\sum\frac 1{(2a+b+c)^2}\leqslant \frac 3{16}\cdot \frac {ab+bc+ca}{abc(a+b+c)},\]
由均值有
\[\sum\frac 1{(2a+b+c)^2}\leqslant \sum\frac 1{4(a+b)(a+c)}=\frac {a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)},\]
由 $(ab+bc+ca)^2\geqslant 3abc(a+b+c)$ 有
\[\frac 3{16}\cdot \frac {ab+bc+ca}{abc(a+b+c)}\geqslant \frac 9{16(ab+bc+ca)},\]
故此只需证
\[\frac {a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac 9{16(ab+bc+ca)},\]
即
\[8(a+b+c)(ab+bc+ca)\leqslant 9(a+b)(b+c)(c+a),\]
这是熟知的,所以最大值就是 $3/16$。
几下放缩都很随意,可见不等式较弱。 |