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回复 20# 游客


   化简一下:

未命名.PNG
2018-4-3 13:27

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回复 12# 游客


未命名.PNG
2018-4-3 14:02

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回复 20# 游客
你整的这些东西要看很久才能懂,很高深啊。

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回复 23# 敬畏数学


    始终关注一个基础:经过抛物线两切线的交点与以两切点为端点的弦的中点的直线,跟抛物线的对称轴平行或重合。

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回复 22# 游客


    得慢慢学习体会!

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回复 16# lemondian

听闻双曲线与椭圆的结论一样?

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椭圆两切线的交点和中心的连线平分以两切点为端点的弦,跟抛物线有点区别。

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有人说椭圆与双曲线用参数方程要简单,他说没空写!

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K神,有空解决一下双曲线的吧。谢谢了

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41.jpg
2018-4-7 11:19

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本帖最后由 lemondian 于 2018-9-21 10:26 编辑

找到了这个:
123.jpg
2018-9-21 08:52


可惜又是没有证明过程的,各位大神看看.

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回复 14# kuing

@kuing:能不能用3#的坐标法来弄呢?

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面积比不变只是仿射变换群的属性,不是射影变换群的属性。非退化的圆锥曲线在仿射变换下分为三类:椭圆、抛物线、双曲线,所以不要太指望抛物线的仿射属性在椭圆和双曲线上也同样有。
在仿射几何中,三类的定义如下:
椭圆:与无穷远线相离的二次曲线。
抛物线:与无穷远线相切的二次曲线。
双曲线:与无穷远线相交的二次曲线。
与相离和相交相比,相切确实更特殊一些,所以抛物线会有一些独特的仿射不变量。

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题设命题与下列命题等价:抛物线弓形的面积等于其外切三角形面积的2/3.

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回复 34# huing
用原命题推导弓形面积时要加上如下假设:
抛物弓形外切三角形面积与弓形面积的比值是定值

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回复 35# player1703 不需要,需要的是求极限的思想。

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说一下上述基于极限思想的证明,也蛮奇妙的,叙述多一点,贵在没有暴力计算。
从中可以看出命题为什么只对抛物线成立,而对于椭圆和双曲线不能恒成立。

且记无穷远线为 $l_\infty$, 抛物线上的无穷远点为$T_\infty$. $T_\infty$是 $l_\infty$与抛物线的切点,这是抛物线区别于椭圆和双曲线的特征。

引理1  命题在$DE\px AB$时特定成立。
证明:设弦$AB$的中点为$T$.
由于 $l_\infty$平行于任意直线,自然也有 $l_\infty\px AB\px DE$, 故$T_\infty, T,P,C$四点共线,$P$是$DE$的中点。
由于 C 与弦 AB 是关于抛物线的配极对应,故$CTPT_\infty$是调和共轭点组,所以P是CT的中点。故DE为$\triangle{ABC}$的中位线,$\S{CDE}=\frac12\S{PAB}$, 命题成立。

引理2 曲边三角形面积$\S{C\overline{AB}}=\frac12S_{抛物线弓形BA\overline{AB}}$
式中$\overline{AB}$抛物线弧段AB,应该是弯顶,咱暂时搞不了,就不费那事了。
证明:按引理1的图,即$DE\px AB$,作以下面积分割:
$\S{C\overline{AB}}=\S{CDE}+\S{D\overline{AP}}+\S{E\overline{BP}}$
$S_{抛物线弓形BA\overline{AB}}=\S{PAB}+S_{抛物线弓形PA\overline{AP}}+S_{抛物线弓形PB\overline{BP}}$
由引理1 $\S{CDE}=\frac12\S{PAB}$得
$\S{C\overline{AB}}=\frac12S_{抛物线弓形BA\overline{AB}}\liff\S{D\overline{AP}}=\frac12S_{抛物线弓形PA\overline{AP}}\land\S{E\overline{BP}}=\frac12S_{抛物线弓形PB\overline{BP}}$
这样大的面积关系就被分割、归结为同构的小的面积关系,如此分割下去,小的面积极限为零,$0=\frac12\cdot0$成立。

最后,我们来证明原命题,DE在一般位置。
$\S{CDE}=\S{C\overline{AB}}-\S{D\overline{AP}}-\S{E\overline{BP}}$
$\S{PAB}=S_{抛物线弓形BA\overline{AB}}-S_{抛物线弓形PA\overline{AP}}-S_{抛物线弓形PB\overline{BP}}$
由引理2知,以上两式右边对应项有倍半关系,故左边对应亦然。

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补一个图。
抛物线弓形面积.PNG
2018-10-19 00:34

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