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» 证明某些根式是无理数的一个方法
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发表于 2018-3-29 13:41
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[数论]
证明某些根式是无理数的一个方法
问题
: (1) 证明 $\sqrt[3]{2}$ 是无理数. (2) 证明 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 是无理数.
关于多项式的有理根有如下定理:
定理
如果有理数$\frac{q}{p}$($p$,$q$互素)是整系数多项式方程 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$的根,则 $p \mid a_n$, $q \mid a_0$.
证明
由
\[ a_n \left( \frac{q}{p} \right)^n+a_{n-1}\left( \frac{q}{p} \right)^{n-1}+\cdots+a_1\left( \frac{q}{p} \right)+a_0=0 \]
得
\[ a_nq^n+a_{n-1}q^{n-1} p+\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0 \]
此式中,左边除最后一项之外都能被 $q$ 整除,因而 $q \mid a_0 p^n$,而 $p$、$q$ 互素,所以 $q \mid a_0$,同理可得 $p \mid a_n$. 证毕.
这个定理指明了一个有理数是整系数多项式方程的根的必要条件。给定一个整系数多项方程,通过$a_n$与$a_0$的分解,我们可以得出它所有可能的有理根,再逐一代入方程验证,就可以排除掉不满足方程的那些有理数,剩下的就都是方程的有理根。
现在我们就可以证明某些根式是无理数了,只要构造出它所满足的一个整系数多项式方程,然后根据上述定理证明方程不可能有理根,或者它的有理根与我们的根式不相等,这样就说明我们的根式一定是无理数了(因为它是这方程的根,但这方程没有有理根或者有但是与我们的根式并不相等).
第一个, $\sqrt[3]{2}$显然是方程 $x^3-2=0$ 的根,但是根据上述定理,这方程的有理根只能在 $\pm 1$,$\pm 2$中候选,经验证,这四个有理数都不满足方程,即方程没有有理根,所以作为它的根的 $\sqrt[3]{2}$ 就只能是无理数.
第二个,先构造方程,设 $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$,则 $x^2=5+2\sqrt{6}$,于是 $(x^2-5)^2=24$,即 $x^4-10x^2+1=0$,根据上述定理,它的有理根只能在 $\pm 1$ 中候选,但是验证知这并不是方程的根,所以作为方程的根的 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 就只能是无理数了.
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数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/
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发表于 2018-3-29 13:52
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zhcosin
这个可以算是科谱小短文了
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