[数论] 证明某些根式是无理数的一个方法

问题: (1) 证明 $\sqrt[3]{2}$ 是无理数. (2) 证明 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 是无理数.

关于多项式的有理根有如下定理:
定理如果有理数$\frac{q}{p}$($p$,$q$互素)是整系数多项式方程 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$的根，则 $p \mid a_n$, $q \mid a_0$.
证明由
\[ a_n \left( \frac{q}{p} \right)^n+a_{n-1}\left( \frac{q}{p} \right)^{n-1}+\cdots+a_1\left( \frac{q}{p} \right)+a_0=0 \]
得
\[ a_nq^n+a_{n-1}q^{n-1} p+\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0 \]
此式中，左边除最后一项之外都能被 $q$ 整除，因而 $q \mid a_0 p^n$，而 $p$、$q$ 互素，所以 $q \mid a_0$，同理可得 $p \mid a_n$. 证毕.

这个定理指明了一个有理数是整系数多项式方程的根的必要条件。给定一个整系数多项方程，通过$a_n$与$a_0$的分解，我们可以得出它所有可能的有理根，再逐一代入方程验证，就可以排除掉不满足方程的那些有理数，剩下的就都是方程的有理根。

现在我们就可以证明某些根式是无理数了，只要构造出它所满足的一个整系数多项式方程，然后根据上述定理证明方程不可能有理根，或者它的有理根与我们的根式不相等，这样就说明我们的根式一定是无理数了（因为它是这方程的根，但这方程没有有理根或者有但是与我们的根式并不相等）.

第一个, $\sqrt[3]{2}$显然是方程 $x^3-2=0$ 的根，但是根据上述定理，这方程的有理根只能在 $\pm 1$，$\pm 2$中候选，经验证，这四个有理数都不满足方程，即方程没有有理根，所以作为它的根的 $\sqrt[3]{2}$ 就只能是无理数.

第二个，先构造方程，设 $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，则 $x^2=5+2\sqrt{6}$，于是 $(x^2-5)^2=24$，即 $x^4-10x^2+1=0$，根据上述定理，它的有理根只能在 $\pm 1$ 中候选，但是验证知这并不是方程的根，所以作为方程的根的 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 就只能是无理数了.

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数学暗恋者，程序员，喜欢古典文学/历史，个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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发表于 2018-3-29 13:52 | 只看该作者

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这个可以算是科谱小短文了

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