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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 不动点
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lrh2006
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发表于 2018-3-24 23:01
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只看该作者
[函数]
不动点
设f(x)=x2-3x-m(m是实数),A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x},若A=B,且A不是空集,则实数m的取值范围是( )
请教各位,谢谢!
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战巡
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发表于 2018-3-25 07:15
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只看该作者
$f(x)=x$,得
\[x=2\pm\sqrt{4+m}\]
$f(f(x))=x$,得
\[x=1\pm\sqrt{3+m},2\pm\sqrt{4+m}\]
剩下自己看着办吧
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发表于 2018-3-25 09:28
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战巡
谢谢, 我求出来了,就是f(f(x))=x的解太不好求了,战巡老师是怎么求的,能否指点一下?
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发表于 2018-3-25 10:55
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只看该作者
=====此楼有疏漏,请看6楼=====
因为满足 $f(x)=x$ 的 $x$ 一定满足 $f(f(x))=x$,可见 $f(f(x))-x$ 一定含有因式 $f(x)-x$,于是,我们利用多项式除法,计算出
\[\frac{f(f(x))-x}{f(x)-x}=\frac{(x^2-3x-m)^2-3(x^2-3x-m)-m-x}{x^2-4x-m}=x^2-2x-2-m,\]
即
\[f(f(x))-x=(x^2-2x-2-m)(f(x)-x),\]
到这里,分歧来了,相信大家都会认为由 $A=B$ 将得出 $x^2-2x-2-m$ 的 $\Delta<0$ 或者 $x^2-2x-2-m$ 与 $f(x)-x$ 相同,但是,题目中并无要求 $x$ 是实数,这里是否应该默认 $x$ 为复数?
如果默认复数,那就没有判别式的事了,只能 $x^2-2x-2-m$ 与 $f(x)-x$ 相同,但后者为 $x^2-4x-m$,两者不可能相同,所以满足条件的 $m$ 不存在。
如果默认实数,那由于刚才已经分析出 $x^2-2x-2-m$ 与 $f(x)-x$ 不可能相同,于是只能 $\Delta<0$,得 $m<-3$。
所以,@所有命题者:这种题的条件最好这样写:定义在 $\mbb R$ 上的 $f(x)$……
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kuing
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发表于 2018-3-25 14:11
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只看该作者
哦不对,还漏了一种情况没考虑,就是 $\Delta=0$ 且那两个相等的实数根恰为 $A$ 中的其中一个元素时,这时 $m=-3$, $x^2-2x-2-m=(x-1)^2$, $f(x)-x=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$,恰好符合!因此 $m=-3$ 也是符合的,而且即便是默认复数也符合。
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kuing
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发表于 2018-3-25 14:41
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只看该作者
重新写一遍吧。
因为满足 $f(x)=x$ 的 $x$ 一定满足 $f(f(x))=x$,可见 $f(f(x))-x$ 一定含有因式 $f(x)-x$,于是,我们利用多项式除法,计算出
\[\frac{f(f(x))-x}{f(x)-x}
=\frac{(x^2-3x-m)^2-3(x^2-3x-m)-m-x}{x^2-4x-m}=x^2-2x-2-m,\]
即
\[f(f(x))-x=(x^2-2x-2-m)(f(x)-x),\]
记
\[C=\{x\mid x^2-2x-2-m=0\},\]
以及
\[\Delta=2^2+4(2+m)=4(m+3),\]
则
\[B=C\cup A,\]
那么
\[A=B \iff C\subseteq A. \quad (*)\]
由于题目没交待 $x$ 的范围是实数还是复数,这里分开讨论。
如果默认范围是复数:
(a1)若 $\Delta\ne0$,则 $C$ 有两个元素,而 $A$ 最多两个元素,那么要满足式 (*) 就只能 $C=A$,即 $x^2-2x-2-m=f(x)-x$ 恒成立,这显然不存在;
(a2)若 $\Delta=0$,则 $m=-3$,此时 $x^2-2x-2-m=(x-1)^2$, $f(x)-x=(x-1)(x-3)$,即 $C=\{1\}$, $A=\{1,3\}$,符合式 (*),因此 $m=-3$ 符合题意。
综上得 $m=-3$;
如果默认范围是实数:
(b1)若 $\Delta<0$,则 $m<-3$,此时 $C=\kongji$,符合式 (*);
(b2)若 $\Delta>0$,同(a1)的分析知不存在;
(b3)若 $\Delta=0$,同(a2)的分析知 $m=-3$。
最后还需要 $A$ 非空,即 $4^2+4m\geqslant0$, $m\geqslant-4$,因此综上得 $-4\leqslant m\leqslant -3$。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2018-3-25 22:38
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谢谢kk,赞美的话不多说,总之,作为k神的粉丝,无比骄傲
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发表于 2018-3-26 23:42
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显然可以直接分解,求出战巡的那四个根$x_k,k=1,2,3,4$(允许相等,且虚根的话令$i=\sqrt{-1}$),
更有意思的是,再来一个方程$f(f(x)=f(x)$的四个根命名为$x_k,k=1,2,5,6$,那么这6个根$x_k,k=1,2,3,4,5,6$更有意思
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发表于 2018-3-27 22:36
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其妙
其妙老师好,直接分解对我来说不显然呢
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游客
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发表于 2018-3-28 16:26
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nttz
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发表于 2022-5-3 18:10
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