设 $AM:AB=x$, $BN:BC=y$, $CP:CD=z$, $DQ:DA=w$,则条件等价于
\[(1-w)x=(1-x)y=(1-y)z=(1-z)w,\]
设此连等式的值为 $t$,则
\[\frac tx+\frac t{1-z}=1-w+w=1,\]
同理有
\[\frac tz+\frac t{1-x}=1,\]
由此可得
\[\frac1x-\frac1{1-x}=\frac1z-\frac1{1-z},\]
去分母因式分解为
\[(x-z)\bigl((1-x)(1-z)+xz\bigr)=0,\]
由于 $x$, $z\in(0,1)$,可见只能是 $x=z$,同理 $y=w$,代回连等式中还可以得出 $z=w$,因此 $x=y=z=w$。 |