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[几何] 一道平几题(矩形四面积相等证平行四边形)

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2018-3-23 22:51
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设 $AM:AB=x$, $BN:BC=y$, $CP:CD=z$, $DQ:DA=w$,则条件等价于
\[(1-w)x=(1-x)y=(1-y)z=(1-z)w,\]
设此连等式的值为 $t$,则
\[\frac tx+\frac t{1-z}=1-w+w=1,\]
同理有
\[\frac tz+\frac t{1-x}=1,\]
由此可得
\[\frac1x-\frac1{1-x}=\frac1z-\frac1{1-z},\]
去分母因式分解为
\[(x-z)\bigl((1-x)(1-z)+xz\bigr)=0,\]
由于 $x$, $z\in(0,1)$,可见只能是 $x=z$,同理 $y=w$,代回连等式中还可以得出 $z=w$,因此 $x=y=z=w$。

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回复 2# kuing

我看到这个题特别想向MP与QN的中点重合方向上看,当然是否可行,还不知,哈哈

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回复  kuing

我看到这个题特别想向MP与QN的中点重合方向上看,当然是否可行,还不知,哈哈 ...
isee 发表于 2018-3-24 00:16

想了下,用同一法。

显然MQPN是平行四边形符合题设。
如果MQPN不是平行四边形,则作平行四边形MQP'N',其中,P'在CD上,N'在BC上.
由四个三角形的面积相等,可先证得P'与P重合,进一步得N'与N重合。

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回复 4# isee

平行四边形不一定符合题设,还需要那四个比例都相等。

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回复 5# kuing


把四个三角形面积相等当成条件了,相当于代数里的分类讨论,是有点不自然。。

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未命名.PNG
2018-3-29 12:19

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