本帖最后由 abababa 于 2018-3-24 22:48 编辑
回复 6# 其妙
发网友的解答:
只算那个2005的。
不妨设$a>=b>=c$,显然$26<=a<=44$
当$a=26$时$b^2+c^2=1329=3^1\cdot443^1$,因为$3\equiv3\pmod{4}$因此无解
当$a=27$时$b^2+c^2=2^2\cdot11^1\cdot29^1$,因为$11\equiv 3 \pmod{4}$因此无解
当$a=28$时$b^2+c^2=3\cdot11\cdot37$同理无解
当$a=29$时$b^2+c^2=2^2\cdot3\cdot97$同理无解
当$a=30$时$b^2+c^2=1105=5\cdot13\cdot17=(1^2+2^2)(10^2+11^2)=(1\cdot11+2\cdot10)^2+(1\cdot10-2\cdot11)^2=31^2+12^2=(2\cdot11+1\cdot10)^2+(2\cdot10-1\cdot11)^2=32^2+9^2=(1^2+4^2)(1^2+8^2)=(1\cdot1-4\cdot8)^2+(1\cdot8+4\cdot1)^2=31^2+12^2=(4\cdot1-1\cdot8)^2+(4\cdot8+1\cdot1)^2=4^2+33^2$
有解数量为$(1+1)(1+1)(1+1)=8$个,去掉序数变化有$4$解,上面已全部解出,没有其它解。此时满足$a>=b>=c$的只有$(a,b,c)=(30,24,23)$
当$a=31$时由上一解知显然$(a,b,c)=(31,30,12)$是解且再无其它解。
当$a=32$时也易知$(a,b,c)=(32,30,9)$是解且再无其它解。
当$a=33$时也易知$(a,b,c)=(33,30,4)$是解且再无其它解。
当$a=34$时$b^2+c^2=3\cdot283$,同理无解。
当$a=35$时$b^2+c^2=2^2\cdot3\cdot5\cdot13$同理无解。
当$a=36$时$b^2+c^2=709^1=22^2+15^2$,有唯一无序正解,即$(a,b,c)=(36,22,15)$
当$a=37$时$b^2+c^2=2^2\cdot3\cdot53$同理无解
当$a=38$时$b^2+c^2=3\cdot11\cdot17$同理无解
当$a=39$时$b^2+c^2=2^2\cdot11^2$,因为$11\equiv 3\pmod{4}$,因此解的数量是$0$
当$a=40$时$b^2+c^2=3^4\cdot5^1=(1^2+2^2)9^2=9^2+18^2$,因为$2 \mid 4$因此有$(1+1)=2$组正解,无序正解只有一组,即$(a,b,c)=(40,18,9)$
当$a=41$时$b^2+c^2=2^2\cdot3^4$,因为$3\equiv 3\pmod{4}$,因此解的数量是$0$
当$a=42$时$b^2+c^2=241$,因为$241 \equiv 1\pmod{4}$因此无序正解只有$1$组,即$(a,b,c)=(42,15,4)$
当$a=43$时$b^2+c^2=2^2\cdot3\cdot13$同理无解
当$a=44$时$b^2+c^2=3\cdot23$同理无解
上面即为全部解。 |