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[不等式] 数学节快乐!积为1的不等式证明

本帖最后由 力工 于 2018-3-14 08:12 编辑

同条件两不等式:已知正数$a,b,c,abc=1$,证明:
(1)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant a+b+c$;
(2)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2}$.
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很简单啊,作代换 $a=y/x$, $b=z/y$, $c=x/z$,则:

(1)显然成立;

(2)等价于
\[x^3+y^3+z^3\geqslant\sqrt{3(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)},\]
两边平方即
\[\sum x^6+2\sum x^3y^3\geqslant3\sum x^4y^2,\]
而由均值恰好有 $x^6+x^3y^3+x^3y^3\geqslant3x^4y^2$,即得证。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 2# kuing
kuing果然神!一眼看破代换来的。

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是不是非齐次的都先考虑用代换齐次化?

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