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[几何] 直径扫过的面积

QQ截图20180304220933.png
2018-3-4 22:10
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抛物线是不是写错了

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圆A,怎么移动,半径变不变,移动过程中,...,总觉得没说清楚,

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按我的理解,大小应该是不变的,选定的直径也是相对固定,就是整个平移。
捕获.PNG
2018-3-5 02:09

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像楼上所示的这种属于简单的情况,即该直径在平移时是“保持前进”的,那么它扫过的面积是容易计算的,如下图:
捕获1.PNG
2018-3-5 02:16

根据“祖*原理”(那个字向来不会打)可知扫过的面积等于那个长方形的面积,它的宽是2,而长则 $\leqslant AD$,所以这种情况的最大值就是 $2AD=4\sqrt5$。

而像楼主所选的直径就会复杂些,像这样:
捕获2.PNG
2018-3-5 02:26

它的面积理论上可以计算,但这里就不算了,因为目测它是不会大于上面的,所以就不管了

目测这是初中题,就不弄太严格了
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 2# kuing
抛物线少加了一个“-”
这的确是一道初中题(四年前),那种比较难求面积的情况讲给老师听,她表示无法脑补,所以一直想寻求真解,谢谢kuing!

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回复 5# kuing


    暅 jngg

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回复 7# isee

我这里 jngg 只能打出 怛

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闲来无事,还是来扯扯复杂情形的面积。

扫0.PNG
2018-3-5 14:14


如图,该直径先由 $A_1A_2$ 扫到 $Q_1Q_2$,这部分面积 $S_1=2h_1$;再由 $Q_1Q_2$ 扫到 $D_1D_2$,这部分面积 $S_2=2h_2$,但是这两部分有重叠,记重叠部分的面积为 $S_{\text{叠}}$,则所求面积就是 $S=2h_1+2h_2-S_{\text{叠}}$。

复杂就是复杂在 $S_{\text{叠}}$ 的计算很麻烦,不仅需要计算交点坐标,算定积分,还需要分三种情况来讨论。

第一种就是上图的情形,重叠部分为:
扫1.PNG
2018-3-5 11:52


第二种:
扫2.PNG
2018-3-5 11:52


还有第三种的,就是 $Q_1Q_2$ 很接近 $A_1A_2$ 的时候,不过很难看清,就不画了。

真的搞起来实在太麻烦,不想算了。

不过 $S_{\text{叠}}$ 相对很小,所以所求值 $S$ 大致就是比 $2h_1+2h_2$ 小一点点。

也可以严格地证明 $2h_1+2h_2<2AD$ 来说明原题不需要考虑这种复杂情况。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
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回复 9# kuing

续:
设切点 $Q$ 的横坐标为 $q$,由于 $Q$ 必在弧 $AD$ 内,所以 $-1<q<1$,不难求出切线 $Q_1Q_2$ 的方程为 $y=(2-2q)x+q^2+3$,然后代点到直线距离公式,化简后可得
\[2h_1+2h_2=\frac{4q^2+4}{\sqrt{(2-2q)^2+1}},\]

\[\left(\frac{4q^2+4}{\sqrt{(2-2q)^2+1}}\right)^2-64=\frac{16(q-1)\bigl(q^2(q+1)+19-13q\bigr)}{(2-2q)^2+1}<0,\]
所以
\[2h_1+2h_2<8,\]
也就是说复杂情形的面积一定小于当所选直径平行于 $x$ 轴时的面积。

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回复 10# kuing
感谢kuing!至此,问题完美解决啦!

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不知是否存在最小面积?

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最小值肯定是存在的,不过要想知道是多少就必须计算 S叠 的表达式了

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