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[几何] 来自减压群的圆外一点作两垂线求四边形最大面积

生如夏花(2365*****) 10:56:18
QQ截图20180228151723.jpg
2018-2-28 15:43

@大色k 15题,应该可以直接用扫过面积的运动法,快速判断出AB=CD时,取到最大值么?

运动法我觉得这个四边形变化的东东太多,不太好说明增减,猜答案尚可,证明还是算了。

还是来写个常规方法吧,反正也是简单的。

首先说明一下,这题其实应该交待清楚ABCD的位置,或者配个图,
否则,字母这样标
QQ截图20180228152437.png
2018-2-28 15:43

也是说得过去的,因为你也没说ABCD必须是凸四边形,交叉的四边形也算是四边形,而且也有面积。

现在就按命题者的原意来画,并过圆心作两直线的垂线,如下图。

QQ截图20180228154514.png
2018-2-28 15:43


则有
\begin{align*}
S&=\frac 12PB\cdot PC-\frac 12PA\cdot PD\\
&=\frac 12(PE+EB)(PF+FC)-\frac 12(PE-EB)(PF-FC)\\
&=PE\cdot FC+PF\cdot EB\\
&\leqslant \sqrt {(PE^2+PF^2)(FC^2+EB^2)}\\
&=\sqrt {(PE^2+PF^2)(r^2-OF^2+r^2-OE^2)}\\
&=OP\sqrt {2r^2-OP^2},
\end{align*}
当 $AB=CD$ 时取等。
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将P点改在圆内的,例如P(1,1),其余不变,求ABCD面积最大值

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回复 2# 其妙

那就是FAQ了

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将P点改在圆内的,例如P(1,1),其余不变,求ABCD面积最大值
其妙 发表于 2018-3-3 10:23

继续改,将P点改在椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$内的,其余不变,求ABCD面积最大值

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回复 4# 其妙

这就很“闲”——(有仿射为依据,圆透就椭圆通)——了,除非你的结论非常优美。

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回复 5# isee

不通不通,仿射改变垂直。

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本帖最后由 isee 于 2018-3-4 16:04 编辑

回复 6# kuing

但面积(比)是不变量,高等几何里多半有公式可套。。。。。至少何时最大,再说,哈哈。。。。

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某网友的,将就看
1blog图片.jpg
2018-3-12 19:19
2blog图片.jpg
2018-3-12 19:19
3blog图片.jpg
2018-3-12 19:19
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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