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发表于 2018-2-24 11:54 | 只看该作者

[不等式] 一个绝对值不等式的范围？

若$|a^2+b+c|+|a+b^2-c|\leqslant 1$,则$a^2+b^2+c^2$有没有最大值？

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kuing

2^#

发表于 2018-2-24 13:15 | 只看该作者

原题好像是高考题而且不是要求最值的吧？
最值虽然存在，但可能非常难求

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wanhuihua

3^#

发表于 2018-2-24 14:52 | 只看该作者

本帖最后由 wanhuihua 于 2018-2-24 22:06 编辑

回复 1# lemondian
比较杂，用电脑算了下 a=0，c=b^2,取最大值 5+2Sqrt(5)

$$
\eqalign{
  & 792768 - 4451760\,k + 9119692\,k^2  - 11528502\,k^3  + 18368665\,k^4 \cr
  &  - 21760832\,k^5  + 8736256\,k^6  - 1327104\,k^7  + 65536\,k^8  = 0{\cal 的}{\cal 根}  \cr
  & {\rm{k  =  9}}{\rm{.903263269}} \cr}
$$
像是这个吧

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lemondian

4^#

发表于 2018-2-24 16:36 | 只看该作者

回复 2# kuing
是的，是高考题，是一个选择题，正确的选项是$a^2+b^2+c^2<100$,这个值100范围太大了，能不能找到最优值？

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kuing

5^#

发表于 2018-2-24 17:45 | 只看该作者

回复 4# lemondian

哪年哪地的？我印象中论坛上曾经有过讨论，不过没搜到

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lemondian

6^#

发表于 2018-2-24 18:38 | 只看该作者

回复 5# kuing

2016年浙江理科第8题

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kuing

7^#

发表于 2018-2-24 19:45 | 只看该作者

回复 lemondian
比较杂，用电脑算了下 a=0，c=b^2,取最大值 5+2Sqrt(5)
wanhuihua 发表于 2018-2-24 14:52

这个结果不正确，当 a = -0.23, b = -1.69461, c = 2.6417 时满足条件，此时 a^2+b^2+c^2 约为 9.9，比 5+2Sqrt(5) 大。

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wanhuihua

8^#

发表于 2018-2-24 22:07 | 只看该作者

$$
\eqalign{
  & 792768 - 4451760\,k + 9119692\,k^2  - 11528502\,k^3  + 18368665\,k^4 \cr
  &  - 21760832\,k^5  + 8736256\,k^6  - 1327104\,k^7  + 65536\,k^8  = 0{\cal 的}{\cal 根}  \cr
  & {\rm{k  =  9}}{\rm{.903263269}} \cr}
$$
看看这个对不对

这个结果不正确，当 a = -0.23, b = -1.69461, c = 2.6417 时满足条件，此时 a^2+b^2+c^2 约为 9.9，比 5+ ...
kuing 发表于 2018-2-24 19:45

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kuing

9^#

发表于 2018-2-24 22:11 | 只看该作者

回复 8# wanhuihua

我也是猜想这个结果（7#的那几个数值就是其取等时的近似值），但仅仅是猜想，具体证明不会。

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