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[几何] 证明椭圆与直线交点唯一

本帖最后由 走走看看 于 2018-2-9 20:41 编辑

下面这道题,按常规方法,计算很复杂。
本人采用如下方法,不知是否可行。
请大师们赐教!
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2018-2-9 19:15

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2018-2-9 20:41
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回复 1# 走走看看

其实就是求过椭圆上一点的切线方程,$l_1$就是那个切线,可以用求导的方法求。
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,两边求导得$\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0$,斜率$y'=-\frac{b^2x}{a^2y}$,代入点$P(x_0,y_0)$,过点$P$的斜率就是$-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$,再用点斜式就得出方程了。

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大概看了下楼主的方法应该没问题。
求切线方程的方法很多,楼上的求导方法估计楼主一时半刻也反应不过来;不等式方法见 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4927

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再来个作弊的
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2018-2-9 21:58

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2018-2-9 21:58
数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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本帖最后由 走走看看 于 2018-2-10 09:03 编辑

谢谢大师们!

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本帖最后由 走走看看 于 2018-2-10 08:56 编辑

回复 5# 走走看看

昨天晚上,用常规方法做了几遍没有做出来。看一大堆字母头就昏了,没法进行下去。
今天上午,特意研究了一下。
得出如下的常规方法一,能够一气呵成,几分钟结束战斗。如果一开始就把分母去掉,就很难进行下去了。
第一楼的解法是 本人的解法二,切线方程是解法三。

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2018-2-9 23:22


现在发现,解法一,还有一个瑕疵。要考虑y0是否等于零。
这道题是 “圆锥曲线极点极线问题”的练习题,只是考虑到文科生不太会
复合函数求导,所以向文科学生推荐用常规方法解题。

https://wenku.baidu.com/view/068c428c89eb172ded63b7f7.html

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回复 3# kuing

不等式方法,很简便。

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4楼说成换元法就好了,x'=x/a,y'=y/a,
那么问题就是圆$x'^2+y'^2=1$与直线是否相切。其中某点在这个圆上.

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还可以这样:先证明椭圆上某点处的切线,就是该点处焦点三角形的外角平分线,然后求出这个角平分线就可以了,只是这肯定不是考试的标准答案,这里只给出切线是焦点三角形的外角平分线的证明。
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2018-2-10 20:58

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2018-2-10 20:58

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2018-2-10 20:58
数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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△=0不是等价于配成完全平方吗?所以,配一个完全平方就行了。所以,不用像楼主那样搞得那么复杂

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本帖最后由 走走看看 于 2018-2-11 07:52 编辑

回复 10# 其妙


6楼是有点复杂,即使不把中间演算过程写上,在草稿上也要花费时间。不过,确实可以锻炼人。

请你再配一个吧!

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回复 11# 走走看看
待一会儿再配,提示:三下五除二就配出来了,只是代码难写呀(虽然不过区区一行的代码,“县长”语)

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回复 11# 走走看看

你记不记得这帖:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=2368

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回复 13# kuing
kk居然找出来一个帖子了!
不过我这次还有改进,配方比上面的帖子里的还要简单,即“县长”的一行法

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回复 13# kuing

忘了!不过相比于那道题,这道题得出一个一元二次方程难度大一点。

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回复 12# 其妙


一行,“一行白鹭上青天”,那好呀。有空时写出来,让我们大家见识一下您的一行。

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本帖最后由 zhcosin 于 2018-2-11 10:38 编辑

参数方程也是一种思路嘛
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2018-2-11 10:38

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回复 17# zhcosin


    很好!

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回复  其妙
一行,“一行白鹭上青天”,那好呀。有空时写出来,让我们大家见识一下您的一行。 ...
走走看看 发表于 2018-2-11 07:54

代码写,太麻烦,下面写得很详细,所以不止一行了,但是关键的配方却只有一行
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2018-2-13 23:04
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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