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[数列] 会不会循环或者能找出通项

数列满足:$a_{4n+1}=1,a_{4n+3}=0,a_{2n}=a_n$,此数列会不会循环或者能写出通项?
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本帖最后由 isee 于 2018-2-5 12:59 编辑

回复 1# isee

最后好像是数论问题

原问是很平凡的,如求$a_{2014}$之类的具体项的值

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这个数列的奇下标项都清楚了,只需要看偶下标项的情况,对于任何一个偶下标$n$,因为$n$是偶数,就总有分解式$n=2^mK$,这里$m$是正整数,而$K$是一个正奇数,显然有$a_n=a_K$,而至于$a_K$,显然当$K \equiv 1 \pmod{4}$时$a_K=1$,而当$K \equiv 3 \pmod{4}$时$a_K=0$,这样整个数列就清楚了。
数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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本帖最后由 色k 于 2018-2-5 11:55 编辑

回复 3# zhcosin

任意一项虽然都有明确的方法去计算,但整个数列的性质仍然不明朗,就如楼主提到的周期性,如何证明或证否?这恐怕就不简单,楼主发这帖大概也是这意思,俺数论弱,想不出来

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回复 3# zhcosin

对滴对滴。

到这一步,所以给明具体的项是可求的。

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回复 4# 色k


    就是想搞通项,可能只能到 zhcosin 这地步了。

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回复 6# isee
这已经是通项了啊,如果你非要写成$a_n=f(n)$的形式也不是不能,只是太丑,而且也没啥意义。

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楼主应该说明上述等式对于$n$成立的范围,否则有可能得出矛盾。周期数列可表示为三角函数的表达式,本质上是单位根的周期性。

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如果楼主的意思是 $c,a,c,b,c,a,c,b,\cdots$ 这种数列,那么其通项为\[\begin{split}f(n)&=\frac{c}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2k(n-1)\pi i}{4}}+\frac{a}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2k(n-2)\pi i}{4}}+\frac{c}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2k(n-3)\pi i}{4}}+\frac{b}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2kn\pi i}{4}}\\
&=\frac{1}{4} \left((-1)^n (a+b-2 c)-(a-b) \left(\cos\frac{n\pi}{2}+\cos \frac{3n\pi}{2}\right)+a+b+2 c\right)\end{split}\]

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回复 9# Infinity

现在还不知这个数列有没有周期啊,我个人感觉是没有的,但证不出。
原递推也不存在矛盾,每一项都是有固定方法去求的。
可以用MMC列出其前1000项:
  1. a[n_] = If[Mod[n/2^IntegerExponent[n, 2], 4] == 1, 1, 0];
  2. Table[a[n], {n, 1000}]
复制代码
得出:
  1. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  2. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  3. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  4. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  5. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  6. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  7. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  8. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  9. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  10. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  11. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  12. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  13. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  14. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  15. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  16. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  17. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  18. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  19. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  20. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  21. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  22. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  23. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  24. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  25. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  26. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  27. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  28. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  29. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  30. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  31. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  32. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  33. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  34. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  35. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  36. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  37. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  38. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  39. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  40. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  41. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  42. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  43. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  44. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  45. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  46. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  47. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  48. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  49. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  50. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  51. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  52. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  53. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  54. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  55. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  56. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  57. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  58. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  59. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  60. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  61. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
  62. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
  63. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1
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冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 10# kuing
我也感觉没有,关键就是那个偶数分解式$n=2^mK$中的奇因子$K$的分布情况,我数论不行,研究不出来。

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回复 10# kuing

假设$n>0$以$a_{2n}=a_n$分析,可知$a_1$是孤立的,可抛去。
设$a_2=s,a_3=t$为初始条件,分析$n>3$的项。为方便,我们限定$k>0$.
$a_{4k}=a_{2k}$,下标可以不断除以2,直到等于2或者等于一个奇数为止。
当除到等于2时,则为 $a_2=a_4=a_8=a_{16}=\cdots=a_{2^{k+1}}=s$
当除到等于奇数时,就有点复杂。因为$a_{4k+2}=a_{2k+1}$,当除到只剩下3时,由于$a_3=t$,这类情况就是$a_3=a_6=a_{12}=a_{24}=\cdots=a_{3\cdot2^k}=t$.
若不是3,那么说明$n$一定是是$2^p(4k+1)$或$2^p(4k+3)$的情形,可根据已知条件得出值。

可见数列的奇数项是有周期性的,在偶数项中除去越来越分散地嵌入的$s$和$t$之外,随着$n$增大,偶数项中的01也是有规律地出现,且周期间隔按指数增长。

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回复 12# Infinity


    其实不懂的,只能默默的谢谢。。。。。。

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假设周期为t,
若t=1,mod4,
那么$1=a_{4k+1}=a_{4k+1+2t}=0$矛盾
若t=2,mod4
那么$1=a_{4k+1}=a_{4k+1+t}=0$矛盾
若t=3,mod4
那么$1=a_{4k+1}=a_{4k+1+2t}=0$矛盾
那么假设$t=2^mn$,m为一正整数,n为一奇数(n=1mod4或n=3mod4)。
若n=1mod4
那么$a_{16^m+t}=a_{16^m+3t}$---1
考察上式两边就有矛盾,
左边为$a_{16^m+t}=a_{8^m+n}=1$;右边为$a_{8^m+3n}=0$
若n=3mod4
那么$0=a_{16^m+t}=a_{16^m+3t}=1$矛盾,
这就说明没有周期
1

评分人数

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主要是最后一个条件破坏了周期。周期的下标是等差数列,最后一个条件的下标是等比数列,所以凭感觉不是周期数列,更不是循环数列

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回复 14# realnumber

这个看懂鸟!

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回复 16# kuing

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回复 14# realnumber


    这个确实厉害 ,相当于接力3楼……

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