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[不等式] 这个题,能用数学归纳法证吗?

这个题,能用数学归纳法证吗?

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2018-1-29 13:23
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道运天地宽  丹心照气圆

最容易想到的证明就是数归啊,见《数学空间》2011第2期P37引理 3.3.1

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谢谢答复!参考了一番。脑袋卡壳了

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不用数归也容易,常规地分析就行。
引理 3.3.1. 若 $x_1$, $x_2$, \ldots, $x_n\geqslant -1$ 且符号相同(这里规定有 $0$ 时也认为 $0$ 与正数或负数符号相同),则有
\[(x_1+1)(x_2+1)\cdots(x_n+1)\geqslant x_1+x_2+\cdots+x_n+1.\]

证明:如果所有变量都为正,则不等式显然成立,故只需证明所有变量都属于 $[-1,0]$ 的情形即可。


\[f=(x_1+1)(x_2+1)\cdots(x_n+1)-(x_1+x_2+\cdots+x_n+1),\]
固定除 $x_1$ 外的所有变量,则 $f$ 是关于 $x_1$ 的一次函数,而且 $x_1$ 的系数为 $(x_2+1)\cdots(x_n+1)-1$,由 $x_i\in[-1,0]$ 知 $(x_2+1)\cdots(x_n+1)\leqslant 1$,可见 $f$ 关于 $x_1$ 不增,所以只需证明 $x_1=0$ 时即可,对其他变量亦如此,最终就只需证明所有变量都为零的情形,此时不等式为 $1\geqslant1$,所以引理得证。
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