本帖最后由 isee 于 2018-1-14 11:40 编辑
好久未见这种题了。目前中学基本不放圆幂定理了。
此题初看是圆幂定理,细看其实是相似三角形。
如图,点$E$'在直线$ED$线上,使$FD=DE'$,则$$\angle EBC=\angle ADC=\angle E'DF=\angle CE'F。$$
从而
$$\triangle BEC \sim \triangle E'FC.$$
$$\frac{BE}{EC}=\frac{FE'}{FC}=\frac{FD}{FC}\iff BE\cdot FC=EC\cdot FD.$$
当$\triangle ABD$为正三角形,则$$\angle EBD=\angle BCD=\angle BDF=120^\circ.$$
从而$$\triangle EBD \sim \triangle BCD\sim\triangle BDF\Rightarrow \frac {BE}{BD}=\frac{BD}{DF}.$$
化积即可。 |