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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 四面体的存在性问题

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发表于 2018-1-11 09:14 | 只看该作者

[几何] 四面体的存在性问题

四面体ABCD的六条棱长分别为5,7,10,12,14,18,这样的四面体是否存在？若存在，设AB=18,则CD的长？

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2^#

发表于 2018-1-11 15:07 | 只看该作者

开挂强算：

f[a_, {b_, c_, p_, q_, r_}] =
(a p)^2 (-a^2 + b^2 + c^2 - p^2 + q^2 + r^2) +
(b q)^2 (a^2 - b^2 + c^2 + p^2 - q^2 + r^2) +
(c r)^2 (a^2 + b^2 - c^2 + p^2 + q^2 - r^2) -
(a b r)^2 - (a q c)^2 - (p b c)^2 - (p q r)^2;
list = Permutations[{5, 7, 10, 12, 14}];
Do[If[f[18, list[[i]]] > 0, Print[list[[i]]]], {i, 1, 5!}]

复制代码

这里 a,b,c,p,q,r 表示 AB,AC,AD,CD,DB,BC，而 $f>0$ 就是构成四面体的充要条件。
运行后输出结果为：
{5,10,7,12,14}
{7,10,5,12,14}
{7,10,5,14,12}
{10,5,7,14,12}
{10,7,5,12,14}
{10,7,5,14,12}
{12,14,5,7,10}
{12,14,5,10,7}
{12,14,7,5,10}
{14,12,5,7,10}
{14,12,5,10,7}
{14,12,7,10,5}
以上这些数组，就是当 AB=18 时能构成四面体的 {AC, AD, CD, DB, BC} 的值，可以看出 CD 只有 5 和 7 两种可能。

3^#

发表于 2018-1-12 09:05 | 只看该作者

回复 2# kuing

单纯 $f>0$ 还不足够的，前提要那些棱长能构成三角形才行，例如 $a=3$，$b=6$，$c=1$，$p=4$，$q=6$，$r=11$ 时 $f=8711$，但不能构成四面体。

4^#

发表于 2018-1-12 14:52 | 只看该作者

回复 3# hejoseph

噢！谢谢提醒，那程序得修改下……

5^#

发表于 2018-1-12 14:54 | 只看该作者

g[a_, b_, c_] = (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b);
f[a_, {b_, c_, p_, q_, r_}] =
(a p)^2 (-a^2 + b^2 + c^2 - p^2 + q^2 + r^2) +
(b q)^2 (a^2 - b^2 + c^2 + p^2 - q^2 + r^2) +
(c r)^2 (a^2 + b^2 - c^2 + p^2 + q^2 - r^2) -
(a b r)^2 - (a q c)^2 - (p b c)^2 - (p q r)^2 > 0 &&
g[a, b, r] > 0 && g[a, q, c] > 0 && g[p, b, c] > 0 && g[p, q, r] > 0;
list = Permutations[{5, 7, 10, 12, 14}];
Do[If[f[18, list[[i]]] == True, Print[list[[i]]]], {i, 1, 5!}]

复制代码

输出的结果和2#相同。

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