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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 求与$17/76$相邻的两个数.

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发表于 2018-1-6 16:19 | 只看该作者

[数论] 求与$17/76$相邻的两个数.

将属于$[0,1]$之间分母不超$99$的最简分数从小到大排列，求与$17/76$相邻的两个数.

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2^#

发表于 2018-1-7 23:01 | 只看该作者

回复 1# isee
不用论，直接就看出来了，15/76、19/76。

3^#

发表于 2018-1-7 23:51 | 只看该作者

回复 isee
不用论，直接就看出来了，15/76、19/76。
走走看看发表于 2018-1-7 23:01

算算 19/85 和 15/67 与所给的数差多少
另外 19/76=1/4

4^#

发表于 2018-1-8 08:01 | 只看该作者

回复 2# 走走看看
16/75,18/77不更好吗？糖水。

5^#

发表于 2018-1-9 10:37 | 只看该作者

本帖最后由 hejoseph 于 2018-1-9 10:40 编辑

\begin{align*}
\frac{17}{76}&=\frac{1}{4+\frac{1}{2+\frac{1}{8}}}\\
\frac{19}{85}&=\frac{1}{4+\frac{1}{2+\frac{1}{9}}}\\
\frac{15}{67}&=\frac{1}{4+\frac{1}{2+\frac{1}{7}}}
\end{align*}
得
\[
\frac{19}{85}<\frac{17}{76}<\frac{15}{67}
\]
其中
\begin{align*}
\frac{19}{85}&\approx 0.22352941176470588235\\
\frac{17}{76}&\approx 0.22368421052631578947\\
\frac{15}{67}&\approx 0.22388059701492537313
\end{align*}

6^#

发表于 2018-1-9 16:38 | 只看该作者

回复 5# hejoseph

我也是这样算的，不过不会证明它是最佳的……

7^#

发表于 2018-1-9 16:44 | 只看该作者

回复 6# kuing

例如计算到 $19/85$，在 $(19/85,17/76)$ 内分母最小的分数为
\[
\frac{1}{4+\frac{1}{2+\frac{1}{8+\frac{1}{2}}}}=\frac{36}{161}
\]
分母已超出范围。另一半类似讨论就可以了。

8^#

发表于 2018-1-9 19:02 | 只看该作者

1=9*17-2*76=85*17-19*76，-1=67*17-15*76
于是容易证明19/85是最优结果，误差在1/(85*76)

9^#

发表于 2018-1-9 19:03 | 只看该作者

别人告诉我的

10^#

发表于 2018-1-11 09:23 | 只看该作者

类似的问题：求分母不超过 200，与 $\sqrt[3]{2}$ 最接近的分数。

11^#

发表于 2018-1-12 14:03 | 只看该作者

想到了那个在分母不超过16000的一切分数中，最接近π的就是355/113,似乎这种问题都是连分数的本行。

12^#

发表于 2018-1-12 14:19 | 只看该作者

回复 6# kuing

终于找到标答，哈哈。

76分之17相邻两分数.jpg (158.61 KB)

76分之17相邻两分数.jpg

13^#

发表于 2018-2-27 23:28 | 只看该作者

回复 12# isee
这是命题人那本书？

14^#

发表于 2018-2-28 00:14 | 只看该作者

回复 13# Tesla35

忘记了咯，是不是数论都忘记了，不过，是命题人系列中的某一本，却有95%上的把握，具体哪一本不记得了

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