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[不等式] 测试难度的不等式

本帖最后由 yao4015 于 2017-12-28 14:08 编辑

$x,y,z$ 是实数且满足$|x|+|y|+|z|\leq \frac{4}{5} $, 证明
$$x^2+y^4+z^6\geq 500 xy^3z^5.$$
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显然只需证 $x$, $y$, $z$ 均为正数的情形即可。

由均值有
\begin{align*}
x^2+y^4+z^6
&=6\cdot\frac{x^2}6+9\cdot\frac{y^4}9+10\cdot\frac{z^6}{10}\\
&\geqslant25\sqrt[25]{\left( \frac{x^2}6 \right)^6\left( \frac{y^4}9 \right)^9\left( \frac{z^6}{10} \right)^{10}}\\
&=25\sqrt[25]{\frac{(xy^3z^5)^{12}}{6^69^910^{10}}}\\
&=\frac{25}{\sqrt[25]{6^69^910^{10}(xy^3z^5)^{13}}}\cdot xy^3z^5,
\end{align*}
再由条件及均值有
\[
\frac45\geqslant x+y+z=x+\frac y3+\frac y3+\frac y3+\frac z5+\cdots +\frac z5\geqslant9\sqrt[9]{\frac{xy^3z^5}{3^35^5}},
\]

\[xy^3z^5\leqslant\left( \frac4{45} \right)^93^35^5,\]
因此
\[
\frac{25}{\sqrt[25]{6^69^910^{10}(xy^3z^5)^{13}}}\geqslant\frac{25}{\sqrt[25]{6^69^910^{10}\left( \left( \frac4{45} \right)^93^35^5 \right)^{13}}},\quad(*)
\]
开挂计算式 (*) 右边的数值约为 $668.989$,所以我们有更强式
\[x^2+y^4+z^6\geqslant668xy^3z^5.\]

注:式 (*) 右边并不是原不等式的最佳系数,因为过程中两次均值的取等条件并不相同,因此等号是取不了的($x=y=z=0$ 除外),开挂显示最佳系数是一个 31 次方程的根,约为 $679.616$。

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话说这个标题是啥意思,何谓“测试难度”?

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回复 3# kuing

这是我构造的一系列问题中的一个. 我在artofproblemsolving 上提过, 没有人解出. 我自己的解法是机器的,  arqady 猜到了最佳整系数是679. 当然这对机器来说并不是问题, 问题是给出一个象楼上kuing那样的证明并不容易. 非常感谢!

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回复 4# yao4015

手工解决最佳系数不太可能,能做到比较接近就不错了

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