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[函数] 二元分式函数的最值问题

$x,y$均为正数,且$x+y\geqslant3$,则$2x^2+y^2+\dfrac{28}{x}+\dfrac{1}{y}$的最小值______?
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令 $f(x)=2x^2+28/x$,易证其在 $\bigl(0,\sqrt[3]7\bigr)$ 递减,在 $\bigl(\sqrt[3]7,+\infty\bigr)$ 递增;
令 $g(y)=y^2+1/y$,易证其在 $\bigl(0,\sqrt[3]{1/2}\bigr)$ 递减,在 $\bigl(\sqrt[3]{1/2},+\infty\bigr)$ 递增。

(1)当 $y\leqslant 3-\sqrt[3]7$ 时,则 $x\geqslant 3-y\geqslant\sqrt[3]7$,所以
\[f(x)+g(y)\geqslant f(3-y)+g(y),\]
接下来可以求导解决,不过我懒得写了,反正我已经计算出结果是 $24$,就直接用来作差得了,有
\[f(3-y)+g(y)-24=\frac {3(y-1)^2(1+5y-y^2)}{(3-y)y}\geqslant 0,\]
从而 $f(x)+g(y)\geqslant 24$;

(2)当 $y>3-\sqrt[3]7$ 时,因为在数值上有 $3-\sqrt[3]7>\sqrt[3]{1/2}$,所以 $g(y)>g\bigl(3-\sqrt[3]7\bigr)$,因此
\[f(x)+g(y)>f\bigl(\sqrt[3]7\bigr)+g\bigl(3-\sqrt[3]7\bigr),\]
上式右边相当于(1)中的 $y$ 取 $3-\sqrt[3]7$ 时的情形,所以肯定也大于 $24$。

综上所述,恒有 $f(x)+g(y)\geqslant 24$,当 $x=2$, $y=1$ 时取等,所以最小值就是 $24$。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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本帖最后由 敬畏数学 于 2017-11-29 16:24 编辑

OK!下面好好看下,刚才试了下用不等式没有做出来。我的想法是凑出x+y≥3,其余全部消失掉。前面两个二次项可以柯西解决,后面两个一次项用均值消掉。用待定系数法似乎可以做出???

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回复 3# 敬畏数学

那你待定出来了没有?

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本帖最后由 敬畏数学 于 2017-11-30 08:04 编辑

即所求式子变为:
\begin{align*}
&\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+(2-\frac{1}{m})x^2+\frac{14}{x}+\frac{14}{x}+(1-\frac{1}{n})y^2+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\\
&\geqslant \frac{(x+y)^2}{m+n}+3\sqrt[3]{(2-\frac{1}{m})(14)^2}+3\sqrt[3]{(1-\frac{1}{n})(\frac{1}{2})^2}\\
&\geqslant \frac{9}{m+n}+3\sqrt[3]{(2-\frac{1}{m})(14)^2}+3\sqrt[3]{(1-\frac{1}{n})(\frac{1}{2})^2}\\
\end{align*}
等号成立,当且仅当满足;$\begin{cases}
(2-\frac{1}{m})x^3=14 \\
(1-\frac{1}{n})y^3=\frac{1}{2} \\
nx=my\\
x+y=3\\
\end{cases}$
解得:\[m=4,x=n=2,y=1\]
即所求式子的最小值为24.

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回复 5# 敬畏数学

这是OK的。

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