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[函数] 函数

450765154.jpg
2017-11-21 22:27
烦请各位大神指点下,谢谢!
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回复 1# lrh2006


    就是$\forall x>0,f(x)\leqslant g(x)$恒成立。

    因为是选择题,然后,将绝对值的全部化右边,含字母全部化左边,图象解决。

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回复 2# isee


    我也是这么想的,但是图像好像不好画诶。能不能再帮我看看,谢谢啦

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本帖最后由 isee 于 2017-11-22 17:21 编辑

回复 3# lrh2006


    以$0<x<1$为例,$$a(x-1)x\leqslant x-1-\frac 1{x-1}.$$直接转化成图象是没问题的,只是不够直观,需要对函数图象非常的熟悉。

    注意到左右两端均有$x-1$,于是可以变形为$$ax\geqslant 1-\frac 1{(x-1)^2}.$$此时右边亦其本初等函数,多一个平移变换而已。图象出来后,就知,需求$$y=1-(x-1)^{-2}$$在原点的切线。

    此时的临界值$a=-2$.

    $x>1$,类似处理……

    然后将两种情况综合起来。不用求值,都已知答案是D了。

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$当x>1时,y=(x-1)^{-2}-1。$
$观察图象,得x=0处的斜率为-\frac{1}{4}。$
$若求导,x=0不在导函数上,如何求这个斜率?$

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本帖最后由 走走看看 于 2017-11-24 08:13 编辑

回复 5# 走走看看


乍看,求导不行,常规解法遇到3次方程,实际操作,发现常数项为0,降成二次方程。
设过原点的直线方程为y=kx,代入则有:
$x[kx^2+(-2k+1)x+(k-2)]=0,$

$[kx^2+(-2k+1)x+(k-2)]=0,$
$△=0$
解得
$k=-\frac{1}{4}。$

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回复 5# 走走看看


    设切点,先求切点横坐标。


   PS:楼上公式有进步,中文与公式最好分开,这个是为了“前途”。

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本帖最后由 走走看看 于 2017-11-24 23:11 编辑

回复 7# isee

$设切点坐标是(x_0,y_0),则 y'=-\frac{2}{(x_0-1)^3},所以切线方程是 y-y_0=-\frac{2}{(x_0-1)^3}(x-x_0),$
$将(0,0)代入则有y_0=-\frac{2}{(x_0-1)^3}x_0,$
$又(x_0,y_0)满足y=\frac{1}{(x-1)^2}-1,则y_0=\frac{1}{(x_0-1)^2}-1,$
$消去y_0,得到 x_0^3-3x_0^2=0。$
$解得x_0=0(舍),或者x_0=3,则y_0=-\frac{3}{4},所以k=-\frac{1}{4}。$

6楼已分开写,但发现行距很小,不好看。不知你们是如何控制的。是整块控制吗?

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学习了,谢谢两位

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回复 8# 走走看看


    自己在论坛里多个空行。

或者两端都用两个美元符号,让公式居中

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个人认为,这样的题目只适合作为解答题考查。
作为选择题,答案显然为D,就算换个与D类似的选择项上去,也只要用特殊值去验证下就可以,从而就考查不出什么名堂。
作为填空题,那还是要按解答题的过程作演算,有比较大的运算量,实际就是在做解答题。

作为选择题的秒杀:
若f(x)中的绝对值比g(x)中的绝对值大的时候,ax不能趋于0,a不能趋于0;
若f(x)中的绝对值比g(x)中的绝对值小的时候,ax不能趋于无穷,a不能趋于无穷。区间两边没有0和无穷的,只有D。

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