[函数] 一道准线性规划问题

本帖最后由敬畏数学于 2017-11-21 14:59 编辑

已知函数$f(x)=2lnx-ax^2+3$，若存在实数$m,n\in[1,5]$，满足$n-m\geqslant2$时，有$f(m)=f(n)$成立，则实数$a$的最大值_____.

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kuing

2^#

发表于 2017-11-20 15:50 | 只看该作者

非严格解法：易得
\[
a = \frac{\ln m^2 - \ln n^2}{m^2 - n^2},
\]
想想 $\ln x$ 上两点的连线，可知当固定其中一点时，另一点越左斜率越大，所以 $m=1$, $n=3$ 时最大，结果就是 $\ln(3)/4$。

要将其改写为严格解法，只需用代数方法证明“点越左斜率越大”这一点，易知这等价于证明 $\ln(t)/(t-1)$ 的单调性，过程略。

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敬畏数学

3^#

发表于 2017-11-20 16:52 | 只看该作者

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nice!

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