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发表于 2017-11-20 09:40
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[函数]
一道准线性规划问题
本帖最后由 敬畏数学 于 2017-11-21 14:59 编辑
已知函数$f(x)=2lnx-ax^2+3$,若存在实数$m,n\in[1,5]$,满足$n-m\geqslant2$时,有$f(m)=f(n)$成立,则实数$a$的最大值_____.
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发表于 2017-11-20 15:50
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非严格解法:易得
\[
a = \frac{\ln m^2 - \ln n^2}{m^2 - n^2},
\]
想想 $\ln x$ 上两点的连线,可知当固定其中一点时,另一点越左斜率越大,所以 $m=1$, $n=3$ 时最大,结果就是 $\ln(3)/4$。
要将其改写为严格解法,只需用代数方法证明“点越左斜率越大”这一点,易知这等价于证明 $\ln(t)/(t-1)$ 的单调性,过程略。
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发表于 2017-11-20 16:52
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kuing
nice!
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