免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[几何] 一道平面向量表示的三角形心的问题

本帖最后由 敬畏数学 于 2017-11-14 15:11 编辑

已知$O$是平面上一定点,$A,B,C$是平面上不共线的三点,动点$P$满足\[\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}),\lambda\in[0,+\infty),\]则点$P$的轨迹一定通过$△ABC$的_____心。
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

已知$O$是平面上一定点,$A,B,C$是平面上不共线的三点,动点$P$满足$\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}),\lambda\in[0,+\infty)$,则点$P$的轨迹一定通过$△ABC$的_____心。
敬畏数学 发表于 2017-11-13 22:51

设 $BC$ 中点为 $D$,则化为
\[\vv{DP}=\lambda\left(\frac{\vv{AB}}{\abs{AB}\cos B}+\frac{\vv{AC}}{\abs{AC}\cos C}\right),\]
(1)如果在中学的考场上,用 $\vv{BC}$ 乘以右边那块显然为零,即 $DP\perp BC$,而这样的填空题只能填五心之一吧,那么就只有外心符合了;

(2)如果要严格证明,就还要多做一步,因为本题 $\lambda$ 的范围并非 $\mbb R$,而是 $[0,+\infty)$,轨迹只是射线,它到底是射向内还是射向外?还需要去判断呢。

而事实是,这射向和外心的位置并非总是一致的,最简单的情况,当三角形为正三角形时,就是外射的,这时并不过外心,所以答案并非五心!

那答案是什么?我也不知道,我也不能说这是错题,因为说不定有个我从没见过的心总能满足那个方向。

TOP

回复 2# kuing
非常严密!谢谢。

TOP

回复 2# kuing
这是我见过的最理直气壮的谈论“內射”、“外射”的内容了。

TOP

回复 4# zhcosin

TOP

返回列表 回复 发帖