[组合] 请用概率论证明“天下大势，合久必分，分久必合”

话说天下大势，合久必分，分久必合，请用概率论证明之

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数学暗恋者，程序员，喜欢古典文学/历史，个人主页: https://zhcosin.coding.me/

力工

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发表于 2017-10-19 19:34 | 只看该作者

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合与分如何量化，概率是多少？

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zhcosin

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发表于 2017-10-20 10:05 | 只看该作者

本帖最后由 zhcosin 于 2017-10-20 11:05 编辑

假定统一还是分裂的状态每年决定一次，并且每一年产生统一状态的概率是$p(0<p<1)$，那么产生分裂状态的概率是$1-p$，从一个指定年份开始，连续$n$年都产生统一状态的概率是$p^n$，同样，连续$n$年都维持分裂状态的概率是$(1-p)^n$，显然这两个概率随着$n\to\infty$都将趋于零，这便是“合久必分，分久必合”。

（统一还是分裂的概率，每一年实际上都不同，但只要有一个范围，即存在某个非常小的正实数$\varepsilon(0<\varepsilon<0.5)$，使得$\varepsilon<p<1-\varepsilon$，在实际情况中这是可以办到的，那么同样有连续$n$年保持统一的概率$p_1p_2\cdots p_n \to 0(n \to \infty)$，连续$n$年维持分裂的概率$(1-p_1)(1-p_2)\cdots(1-p_n) \to 0(n \to \infty)$，并不影响结论）

不过呢，这里的“必”与必然事件还是有区别的，概率趋于零，只是说要一直维持统一状态，将变得越来越困难，即概率趋零，并不是必然发生分裂，因为永久保持统一状态的可能性是存在的，尽管微乎其微。

其实呢，对于一个朝代而言，要想像秦始皇所期望的那样“朕为始皇帝，后世以计数，二世三世乃至千万世，传之无穷”，除非代代雄主，至少也是守成之主，永远不出昏庸无能之辈，这在世袭的帝制下显然是不可能的，所以中国古代的王朝，都免不了“其兴也勃焉其亡也忽焉”的结局。而在纷争的乱世，各诸侯国互相征伐，有志之士以统一天下为大业，乱世出人才，总会有那枭雄霸主出世，重整山河，横扫中原，统一天下，登基称帝，开创大一统新王朝。

于是，在世袭帝制下，“天下大势，合久必分，分久必合”是必然的规律。

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