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求助,该题的答案

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本帖最后由 战巡 于 2017-10-17 02:39 编辑

回复 1# weigang99888

(a)
反证法,假设$a_n\ne o(1/n)$,即$\lim_{n\to \infty}na_n>0$
由O'Stolz定理可知
\[\frac{a_n}{\frac{1}{n}}=\frac{\sum_{k=1}^na_k}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}>0\]
于是
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_k=\infty\]
矛盾出现,所以$a_n=o(\frac{1}{n})$

(b)
怀疑有误
由于$b_n=o(\frac{1}{n})$推不出$\sum b_n$收敛,倘若它不收敛,一切没戏,若要证明存在相关数列使得$a_n=o(b_n)$倒没问题

(c)
\[\sum_{n=2}^\infty A_n=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty a_k}<\infty\]
\[A_n=\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}-\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k}=\frac{a_{n-1}}{\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}+\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k}}\]
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{A_n}=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}+\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k})\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\]
其中由于级数收敛,$\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}+\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k}\to 0$,而$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}<\infty$,因此极限为$0$,也就有$a_n=o(A_n)$

(d)和(c)差不多,此处略

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