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[函数] $x>0,\mathrm e^{(kx-1)/(x+1)}<x+1$,求整数$k$的最大值(应试)

本帖最后由 isee 于 2017-11-7 19:33 编辑

题:若$\forall x>0,\mathrm e^{(kx-1)/(x+1)}<x+1$,则整数$k$的最大值为______。
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果然大家对应试题没兴趣。。。

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本帖最后由 游客 于 2017-10-27 10:39 编辑

回复 2# isee


    这个x是存在还是任意啊?
如果是任意x>-1的话,k的值在方程lnx=x-2的两根之间;
如果是存在x>-1的话,取x=0,则k是任意的。
如果熟悉函数y=xlnx的图象,这个就很简单;如果不熟悉,就当是熟悉的吧,看一眼就熟悉了。

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回复 3# 游客

任意任意。

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本帖最后由 isee 于 2017-11-7 20:37 编辑

回复 1# isee


我想,这个应该不会优先,把右边移到左边,然后作差吧?左边那个导数,我是不想直接求的。

先取个对数再说$$\forall x>0,\mathrm e^{(kx-1)/(x+1)}<x+1 \iff \frac{kx-1}{x+1}<\ln(x+1).$$

如果按3楼 游客的思路,大致是这样的,令$x+1=t>1$,于是得到$$t>1,kt-k-1<t\ln t.$$

($t>1$)右边函数下凸且递增,左边射线不含端点$(1,-1)$,则题目可转化为,求过点$(1,-1)$作$y=x \ln x$的切线的斜率高斯函数值.

与游客在3楼的第二行等价.

===

如若将换元后的式子分参$$t>1,k<\frac{t\ln t+1}{t-1}.$$
需要估算右边函数的最小值.
其实,这里求导后,又要回到3楼第二行.
本质同.


以上解法,无论是切点,还是零点,都是设而不求,典型的应试技巧。


===

当然,不从几何角度,或者分参角度的话,将取对数的的式子,移项直接分类讨论亦可的,没啥意思,基本功。

最后的结果最大整数$k$的值为2.

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具体出来是这样的——

.已知$\forall x>0,\mathrm e^{(kx-1)/(x+1)}<x+1$中,则整数$k$的最大值为是___.
               
       
        解1:先作“尝试”,如果直接构造$f(x)=x+1-\mathrm e^{(kx-1)/(x+1)}$,求导后$$f'(x)=\dfrac{(x+1)^2-(k+1)\mathrm e^{(kx-1)/(x+1)}}{(x+1)^2}.$$比原函数还复杂,因此,需改造题目.首选两边取自然对数$$\forall x>0,\mathrm e^{(kx-1)/(x+1)}<x+1 \iff \frac{kx-1}{x+1}<\ln(x+1),x>0.$$
       
        令$$f(x)=\ln(x+1)-\frac{kx-1}{x+1},x>0.$$于是,原问题转化为求$f(x)_{\min}>0$即可.
       
        求导得$$f'(x)=\frac{x-k}{(x+1)^2}.$$
       
        当$k\leqslant 0$时,$f'(x)>0$,从而$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递增,所以$$f(x)_{\min}\geqslant f(0)=1>0.$$此时整数$k$ 的最大值为$0$.

        当$k>0$时,令$f'(x)=0\Rightarrow x=k$,得到$x,f'(x),f(x)$的关系如下表
        $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
                \hline
                x& (0,k) & k &(k,+\infty)\\
                \hline
                f'(x) & - & 0 & + \\
                \hline
                f(x) &\searrow  &  & \nearrow \\
                \hline
          \end{array}
        $$
        于是$$f(x)_{\min}=f(k)=\ln(k+1)-\frac{k^2-1}{k+1}=\ln(k+1)-k+1.$$这样原问题又“变化”为$f(k)$与0的大小关系,即需求$\ln(k+1)-k+1>0$的解集.
       
        记$g(x)=\ln(x+1)-x+1,x>0$,求导得$g'(x)=-\dfrac {x}{x+1}<0,$即$g(x)$在$(0,+\infty)$单调递减,又$$g(2)=\ln 3-1>0,g(3)=\ln 4-2<0.$$从而存在惟一的$k_0$使得$g(k_0)=0,$即$$\exists k_0\in (2,3),g(k_0)=\ln (k_0+1)-k_0+1=0.$$
       
        亦是$$\forall k\in (0,k_0),f(x)_{\min}=f(k)>f(k_0)=0.$$
       
        综上,$k$的最大整数值为2.




===========


解2:在解1中,我得得到了$$\forall x>0,\mathrm e^{(kx-1)/(x+1)}<x+1 \iff \frac{kx-1}{x+1}<\ln(x+1),x>0.$$也可以尝试分离参变量.
       
        进一步,有$$k<\frac {(x+1)\ln (x+1)+1}{x},x>0.$$记$$F(x)=\frac {(x+1)\ln (x+1)+1}{x},x>0.$$于是原问题等价于求$F(x)$的最小值,求导得$$F'(x)=\frac{x-1-\ln(x+1)}{x^2}=\frac{-\left(\ln(x+1)-x+1\right)}{x^2},x>0.$$
       
       
        由解1中,知$g(x)=\ln(x+1)-x+1,x>0$在单调递减,且$$\exists x_0\in (2,3),g(x_0)=\ln (x_0+1)-x_0+1=0\Rightarrow \ln (x_0+1)=x_0-1.$$
       
        令$F'(x)=\dfrac{x-1-\ln(x+1)}{x^2}=0\Rightarrow x=x_0$,从而得到$x,F'(x),F(x)$的关系如下表
        $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
                \hline
                x& (0,x_0) & x_0 &(x_0,+\infty)\\
                \hline
                F'(x) & - & 0 & + \\
                \hline
                F(x) &\searrow  &  & \nearrow \\
                \hline
          \end{array}
        $$
        于是$$F(x)_{\min}=F(x_0)=\frac {(x_0+1)\ln (x_0+1)+1}{x_0}=\frac {(x_0+1)(x_0-1)+1}{x_0}=x_0\in (2,3).$$所以,$k$的最大整数值为2.

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回复 6# isee

感到这题难度较大。

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本帖最后由 lemondian 于 2017-11-16 16:17 编辑

回复 6# isee

能用放缩法来做吗?
我这样写,是否可以?
QQ截图20171116161451.jpg
2017-11-16 16:15

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我这样写,是否可以?
QQ截图20171116161451.jpg
2017-11-16 16:17

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回复 9# lemondian


    k=2后面的证明是没问题的,不过,前段的放缩是有问题的,应是将对数缩小,而不是放大。

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回复 8# lemondian


   要修改也是容易的,取一个特殊值即可,如,令$x=1$,则有$$k<1+2\ln 2.$$成立,则猜想k的最整数值是2。
   再接你后段即可。
   
   这种方式在《数学空间》里有,2011第3期,总第三期

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回复 10# isee

个人感觉应该是放大哩?

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回复 13# lemondian


    要用不等式的传递性啊,a<b,只能在中间插 a<x<b才合逻辑啊。

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回复 12# lemondian

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回复 6# isee

百度作业帮上有很多老师回答,但回答得都不对。
可见,这道题难度之大。
佩服Isee大师。
对高中生来说,遇到这道题就是灾难。

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回复 15# 走走看看


    称呼iC即可,大师免了。。。。

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回复 13# isee

9楼的证明是没有问题的,那里不是应用不等式的传递性。
$对任意个x>0的时候,k要满足 k<x+\frac{1}{x}+1。$
$就是k要小于  x+\frac{1}{x}+1 的最小值。$

可能Isee没有看仔细。

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回复 17# 走走看看

传递不了啊,9楼是将对数放大了,在思考上估计是可以的。
但这样的过程是有问题的。

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回复 18# isee


说得对!通过变形能验证你的说法。
$原式等价于 k< \frac{(x+1)ln(x+1)+1}{x} 在x>0时恒成立,也就是求\frac{(x+1)ln(x+1)+1}{x}的最小值。$
$这时,把ln(x+1)单独放大或缩小都是错误的,割裂了同分子x的关系,也割裂了同前面的(x+1)的关系。$

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回复 19# 走走看看
what?why?

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