本帖最后由 isee 于 2017-10-15 17:55 编辑
解法2,源于游客,但可能并非游客本意,整理iC.
不防令$BD=1,DC=2,$记$AD=x$,则在$\triangle ABD$中有$$c^2=x^2+1-2x\cos ADB.$$
同理可得$$b^2=x^2+4-4x\cos(\pi-ADB)=x^2+4+4x\cos ADB.$$
由上两式消$\cos ADB$,整理得到$$x^2=\frac{2b^2}3+\frac{c^2}3-2.$$
另一方面,在$\triangle ABC$中,由余弦定理有$$9=b^2+c^2-bc\iff \left(b-\frac c2\right)^2+\frac {3c^2}4=9.$$
令$$b-\frac c2=3\cos \alpha,\frac {\sqrt {3}c}2=3\sin \alpha.$$
即$$b=3\cos \alpha+\sqrt {3}\sin \alpha,c=2\sqrt {3}\sin \alpha.$$
代入目标式,化简整理,有$$x^2=\frac{2b^2}3+\frac{c^2}3-2=\cdots=2\sqrt 3\sin2\alpha+4\leqslant 4+2\sqrt 3.$$
所以,$AD$最大值是$\sqrt 3+1$.
巧的是这个$\alpha$是可以求出来的,特殊角,不知道对应的几何意义是什么。。。。。。 |