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[几何] 求线段$AD$的最大值(应试)

在$\triangle ABC$中,$BC=3,\angle BAC=60^\circ$,$D$为$BC$边的三等分点,则$AD$的最大值为_______.
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很简单啊,发出来有啥用意嘛?

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回复 2# kuing


    有难有易,咸淡皆需,嘿嘿。

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本帖最后由 游客 于 2017-10-13 08:27 编辑

未命名.PNG
2017-10-13 08:23


不过我想问:如果这个问题作为例题在课堂分析了,
然后角A为150度的条件下,求AD的最小值。
然后一群小伙伴都不会,你们会有什么感想?

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确实很多地方感兴趣这样的问题。楼上算OD的长度用向量法确实

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回复 4# 游客


    求$OD$,用相交弦定理。

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回复 4# 游客


    难度大啊,难题得自悟,讲或不讲,能写出来的,依然会写,写不出的,依然不会。

    其次,现在教材几何压缩得不成样子了,而课外的辅助机构呢,又不讲几何基础,讲大定理,或者超复杂题,用大炮打蚊子,学着学着就“变形”了

   不过,话说回来,如果的数学百花开,真不必在古老的几何上花太多的时间

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本帖最后由 isee 于 2017-10-15 14:39 编辑

接4楼,如果用余弦定理来解,与这题的前一半是很像的
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D4

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本帖最后由 isee 于 2017-10-15 14:52 编辑

解法1 源于游客,iC整理。

连接$OA$,$OD$,则$$AD\leqslant OA+OD=R+OD.$$

故$A$,$O$,$D$三点共线时,$AD$取得最大值。

此时,在$\triangle ABC$中,由正弦定理可得$$2R=\frac {AB}{\sin BAC}=\frac 3{\sqrt{3}/2}=2\sqrt {3}\Rightarrow R=\sqrt {3}.$$

在圆$O$中,点$D$对圆的幂(即相交弦定理,延长$AD$交圆$O$于点$E$,则$DE\cdot DA=BD\cdot DC$)为$$R^2-OD^2=BD\cdot DC=2\Rightarrow OD=1.$$

故$$AD_{\max}=R+OD=\sqrt{3}+1.$$

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本帖最后由 isee 于 2017-10-15 17:55 编辑

解法2,源于游客,但可能并非游客本意,整理iC.

trgl.png
2017-10-15 17:54



不防令$BD=1,DC=2,$记$AD=x$,则在$\triangle ABD$中有$$c^2=x^2+1-2x\cos ADB.$$
同理可得$$b^2=x^2+4-4x\cos(\pi-ADB)=x^2+4+4x\cos ADB.$$
由上两式消$\cos ADB$,整理得到$$x^2=\frac{2b^2}3+\frac{c^2}3-2.$$

另一方面,在$\triangle ABC$中,由余弦定理有$$9=b^2+c^2-bc\iff \left(b-\frac c2\right)^2+\frac {3c^2}4=9.$$
令$$b-\frac c2=3\cos \alpha,\frac {\sqrt {3}c}2=3\sin \alpha.$$
即$$b=3\cos \alpha+\sqrt {3}\sin \alpha,c=2\sqrt {3}\sin \alpha.$$

代入目标式,化简整理,有$$x^2=\frac{2b^2}3+\frac{c^2}3-2=\cdots=2\sqrt 3\sin2\alpha+4\leqslant 4+2\sqrt 3.$$

所以,$AD$最大值是$\sqrt 3+1$.

巧的是这个$\alpha$是可以求出来的,特殊角,不知道对应的几何意义是什么。。。。。。

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本帖最后由 isee 于 2017-10-15 18:06 编辑

解法3,直接瞄准$AD$,利用向量来算其长。

继上图,容易有$$\vv {AD}=\frac 13\vv {AC}+\frac 23 \vv{AB}\Rightarrow AD^2=\frac {b^2+4c^2+2bc}9.$$

由解法2,知$$9=b^2+c^2-bc.$$

想到齐次式,于是$$AD^2=\frac {b^2+4c^2+2bc}{b^2+c^2-bc}=\frac {t^2+4+2t}{t^2+1-t},t=\frac bc>0.$$

而$$\frac {t^2+4+2t}{t^2+1-t}=1+\frac 3{t+1+\frac3{t+1}-3}.$$

下略.........

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解法4,建系

以$O$点坐标原点,平行$BC$边为$x$轴建立直角坐标系.

则圆$O$的方程为$$x^2+y^2=3.$$

由几何知识,易求得,点D到BC的距离为$\frac {\sqrt 3}2$,则$B$,$C$,$D$三点坐标可写出,再利用圆的参数方程,直接求$AD$即是,过程略。

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不等式方向如何解?

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本帖最后由 isee 于 2018-3-2 22:05 编辑

回复 13# isee


是否可借鉴圆中的最大值,先汇总。

还有一个为实数的范围的,就在8楼链接

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回复 1# isee
你这个是阉割了的题目吧?
原版在这里:一道三角形中的最大值问题的多解(求λ=sin∠ABD/sin∠BAD的最大值)
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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